Ví dụ về hai biến * tương quan * bình thường có tổng không bình thường

Tôi biết một số ví dụ hay về các cặp biến ngẫu nhiên tương quan là bình thường nhưng không bình thường. Xem câu trả lời này bởi Dilip Sarwate , và một này bởi Đức Hồng Y .

Tôi cũng nhận thức được một ví dụ về hai biến ngẫu nhiên bình thường có tổng không bình thường. Xem câu trả lời này của Macro . Nhưng trong ví dụ này, hai biến ngẫu nhiên không tương quan.

Có một ví dụ về hai biến ngẫu nhiên bình thường có hiệp phương sai khác không và tổng của nó không bình thường? Hoặc có thể chứng minh rằng tổng của hai biến ngẫu nhiên bình thường tương quan, ngay cả khi chúng không biến đổi bình thường, phải là bình thường?

[Bối cảnh: Tôi có một câu hỏi bài tập về nhà mà yêu cầu sự phân bố của nơi X và Y là normals tiêu chuẩn với tương quan ρ . Tôi nghĩ rằng câu hỏi có nghĩa là xác định rằng họ là bivariate bình thường. Nhưng tôi tự hỏi liệu có bất cứ điều gì có thể được nói mà không có giả định thêm này cho ρ khác không.]$aX+bY$$X$$Y$$\rho$$\rho$

Cảm ơn!

Hầu như bất kỳ copula bivariate nào cũng sẽ tạo ra một cặp biến thiên ngẫu nhiên bình thường với một số tương quan khác không (một số sẽ cho không nhưng chúng là trường hợp đặc biệt). Hầu hết (gần như tất cả) trong số họ sẽ tạo ra một khoản tiền không bình thường.

Trong một số gia đình copula, bất kỳ mối tương quan Spearman (dân số) mong muốn nào cũng có thể được tạo ra; khó khăn chỉ là trong việc tìm ra mối tương quan Pearson cho tỷ suất lợi nhuận bình thường; về nguyên tắc thì có thể thực hiện được, nhưng đại số có thể khá phức tạp nói chung. [Tuy nhiên, nếu bạn có mối tương quan Spearman dân số, thì mối tương quan Pearson - ít nhất là đối với các lề đuôi nhẹ như Gaussian - có thể không quá xa trong nhiều trường hợp.]

Tất cả trừ hai ví dụ đầu tiên trong âm mưu của hồng y sẽ đưa ra những khoản tiền không bình thường.

Một số ví dụ - hai cái đầu tiên đều thuộc cùng một họ copula như là thứ năm của các bản phân phối bivariate ví dụ của hồng y, cái thứ ba là suy biến.

Ví dụ 1:

$\theta=-0.7$

Ở đây, tổng rất cao và cực kỳ đúng lệch

$\ $

Ví dụ 2:

$\theta=2$

$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

$X^*=-X$$Y^*=-Y$

Mặt khác, nếu chúng ta chỉ phủ nhận một trong số chúng, chúng ta sẽ thay đổi mối liên hệ giữa sức mạnh của độ lệch với dấu hiệu của mối tương quan (nhưng không phải là hướng của nó).

Cũng đáng để chơi xung quanh với một vài công thức khác nhau để hiểu được những gì có thể xảy ra với phân phối bivariate và lề bình thường.

Các lề Gaussian với một t-copula có thể được thử nghiệm, mà không phải lo lắng nhiều về các chi tiết của các công thức (tạo ra từ bivariate t tương quan, dễ dàng, sau đó chuyển đổi thành các lề đồng nhất thông qua biến đổi tích phân xác suất, sau đó chuyển đổi các lề đồng nhất sang Gaussian thông qua nghịch đảo cdf bình thường). Nó sẽ có một tổng không bình thường nhưng đối xứng. Vì vậy, ngay cả khi bạn không có các gói copula đẹp, bạn vẫn có thể thực hiện một số việc khá dễ dàng (ví dụ: nếu tôi đang cố gắng hiển thị một ví dụ kỳ quặc trong Excel, có lẽ tôi sẽ bắt đầu với t-copula).

-

Ví dụ 3 : (đây giống như những gì tôi nên bắt đầu với ban đầu)

$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

Trong trường hợp này, mối tương quan giữa chúng là khoảng 0,66.

$X$$Y$

$U$$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

Một số mã:

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

Ví dụ thứ hai:

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

Mã cho ví dụ thứ ba:

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

Tôi đã đưa ra một ví dụ. X là biến thông thường tiêu chuẩn và Y = -X. Khi đó X + Y = 0, không đổi. Bất cứ ai cũng có thể xác nhận nó là một ví dụ?

Chúng ta biết thực tế nếu X, Y là bình thường chung, thì tổng của chúng cũng bình thường. Nhưng nếu tương quan của chúng là -1 ??

Tôi hơi bối rối về điều này. Cám ơn.