Số lượng màu sắc khác nhau dự kiến ​​khi vẽ mà không thay thế

Hãy xem xét một chiếc bình chứa quả bóng có màu khác nhau, với là tỷ lệ các quả bóng màu trong số các quả bóng ( ). Tôi vẽ quả bóng từ chiếc bình mà không cần thay thế và nhìn vào số có màu khác nhau trong số những quả bóng được vẽ. Kỳ vọng của là một hàm của , tùy thuộc vào các thuộc tính phù hợp của phân phối ?P p i i N Σ i p i = 1 n ≤ $N$$P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$$n \leq N$γ n / N $\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

Để hiểu rõ hơn: nếu và cho tất cả , thì tôi sẽ luôn thấy chính xác màu, nghĩa là, . Mặt khác, có thể thấy rằng kỳ vọng của là . Đối với và cố định , dường như hệ số nhân sẽ là cực đại khi là đồng nhất; có lẽ số lượng màu khác nhau dự kiến ​​được xem là giới hạn của hàm và, ví dụ: entropy của ?p i = 1 / P i n γ = P ( n / N ) γ > P ( n / N ) P N n / N p n / N $N = P$$p_i = 1/P$$i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$$n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

Điều này dường như liên quan đến vấn đề của người thu thập phiếu giảm giá, ngoại trừ việc lấy mẫu được thực hiện mà không thay thế và việc phân phối phiếu giảm giá không thống nhất.

Giả sử bạn có màu sắc nơi . Hãy biểu thị số lượng bóng màu nên . Hãy B = { b 1 , ... , b k } và để cho E i ( B ) notate tập trong đó bao gồm các i tập con yếu tố của B . Đặt Q n , c biểu thị số cách chúng ta có thể chọn n phần tử từ tập hợp trên sao cho số lượng màu khác nhau trong tập đã chọn làk ≤ N b i i ∑ b i = $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$ . Với c = 1 công thức rất đơn giản:$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

Với chúng ta có thể đếm các bộ bóng có kích thước có tối đa 2 màu trừ đi số lượng bộ có đúng màu:n $c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

$\binom{k - 1}{1}$ là số cách bạn có thể thêm một màu vào một màu cố định sao cho bạn sẽ có 2 màu nếu bạn có tổng cộng màu. Công thức chung là nếu bạn có màu cố định và bạn muốn tạo ra màu trong khi có tổng số màu ( ) là . Bây giờ chúng ta có mọi thứ để rút ra công thức chung cho :c 1 c 2 k c 1 ≤ c 2 ≤ k ( k - c $k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$Qn,$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

Xác suất mà bạn sẽ có chính xác màu nếu bạn vẽ quả bóng là:$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

Cũng lưu ý rằng nếu .$\binom{x}{y} = 0$$y > x$

Có lẽ có những trường hợp đặc biệt trong đó công thức có thể được đơn giản hóa. Tôi đã không bận tâm để tìm thấy những đơn giản hóa lần này.

Giá trị mong đợi mà bạn đang tìm kiếm cho số lượng màu phụ thuộc vào là như sau:$n$

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$