Giới hạn về kỳ vọng có điều kiện với tỷ suất lợi nhuận bình thường và tương quan (Pearson) được chỉ định

8

Tôi thấy câu hỏi sau đây trên một diễn đàn khác:

"Giả sử rằng cả chiều cao và cân nặng của đàn ông trưởng thành đều có thể được mô tả bằng các mô hình bình thường và mối tương quan giữa các biến này là 0,65. Nếu chiều cao của một người đàn ông đặt anh ta ở phần trăm thứ 60, bạn sẽ mong đợi cân nặng của mình là bao nhiêu phần trăm?"

Tôi thấy rằng ai đó tại diễn đàn được đề cập đã chỉ ra rằng câu hỏi nói về tỷ suất lợi nhuận là bình thường ( height and weight ... can be described with normal models), không phải về tính quy tắc hai biến và vì vậy câu hỏi không có một câu trả lời duy nhất.

Rõ ràng câu trả lời sẽ phụ thuộc vào mối quan hệ phụ thuộc bivariate thực tế (copula), khiến tôi tò mò.

Câu hỏi của tôi là:

Với tỷ lệ lợi nhuận bình thường và tương quan dân số được chỉ định ( , tương quan Pearson), có cách nào hợp lý để tìm giới hạn trên cho cả bình thường, với tương quan không? $\rho$ $E(Y|X=x_q)$ $X,Y$ $\rho$

Nếu có một giá trị chính xác lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cho kỳ vọng có điều kiện, thì (và đối với sở thích, các trường hợp xảy ra trong mỗi trường hợp *) sẽ rất tốt để biết.

* Tôi có một số nghi ngờ mạnh mẽ về những trường hợp đó có thể là gì (nghĩa là loại phụ thuộc có thể liên quan; đặc biệt, tôi hy vọng một loại phân phối thoái hóa cụ thể sẽ đưa ra giới hạn) nhưng tôi chưa điều tra suy nghĩ đó trong bất kỳ chiều sâu. (Tôi cho rằng ai đó đã có khả năng biết điều đó.)

Không có điều đó, giới hạn trên hoặc dưới trên cả hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ rất thú vị.

Tôi không nhất thiết yêu cầu một câu trả lời đại số (một số thuật toán sẽ làm được), mặc dù câu trả lời đại số sẽ rất hay.

Câu trả lời gần đúng hoặc một phần có thể hữu ích / hữu ích.

Nếu không ai có câu trả lời tốt, tôi có thể tự mình đi tìm.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

4

Tôi nghĩ rằng không có giới hạn. Kết luận này dựa trên cấu trúc sau, đơn giản nhất để mô tả cho các phân phối liên tục tùy ý. Khi chúng tôi đi cùng, các điều kiện sẽ được thêm vào cho đến khi chúng tôi ở trong trường hợp của Biên bình thường.

Vì vậy, chúng ta hãy được bất kỳ biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố . Cho bất kỳ khoảng thời gian nửa mở (cuối cùng sẽ trở nên rất hẹp), xác định $X$ $F$ $(a,b]$

ψ : (a, b] \to (- \infty, c]

$\psi: (a,b] \to (-\infty, c]$

thông qua

ψ (x) = F^{- 1} (F (x) - F (a)) .

$\psi(x) = F^{-1}(F(x) - F(a)).$

Điều này đang tăng đơn điệu và rõ ràng là . Bằng cách xây dựng, $c = \psi(b) = F^{-1}(F(b)-F(a))$

Pr (X \in (a, b]) = Pr (ψ (X) \leq c) .

$\Pr(X \in (a,b]) = \Pr(\psi(X) \le c).$

Mở rộng thành bản đồ một-một thông qua $\psi$ $\Psi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

\begin{aligned} Ψ |_{(a, b]} & = ψ, \\ Ψ |_{(- \infty, c]} & = ψ^{- 1} \end{aligned}

$\eqalign{ \Psi|_{(a,b]} &= \psi, \\ \Psi|_{(-\infty, c]} &= \psi^{-1} }$

và mặt khác . Sự phân bố của là giống hệt như của , nhưng những gì nó đã làm là để trao đổi các giá trị giữa hai khoảng và . $\Psi(x) = x$ $\Psi(X)$ $X$ $(a,b]$ $(-\infty, c]$

Hình 1: đồ thị của Psi

Ví dụ về cho . $\Psi$ $(a,b]=(1.5, 1.75]$

Đặt tương quan Pearson của là . (Không mất tính tổng quát, hiện tại chúng tôi có thể cho rằng cả và đã được chuẩn hóa, bởi vì điều này sẽ thay đổi cả cũng như tính liên tục của ). Đặt là bất kỳ số thực nào, như trong câu hỏi, trong đó kỳ vọng có điều kiện của sẽ được ước tính. Chọn mà nhưng làm cho nó hẹp đến mức là nhỏ. Sau đó, thay đổi từ đến $(X,Y)$ $\rho \in (-1, 1)$ $X$ $Y$ $\rho$ $X$ $x_q$ $Y$ $(a,b]$ $x_q \in (a,b]$ $\Pr(X \in (a,b])$ $\rho = \mathbb{E}(XY)$ $\rho^\prime = \mathbb{E}(\Psi(X)Y)$ có thể được thực hiện nhỏ tùy ý. (Phải mất một ít công sức để chỉ ra điều này; thực tế là kỳ vọng có điều kiện của đưa ra tăng tương đối chậm khi giảm. Nếu không, sẽ không được xác định.) Tuy nhiên, áp dụng thay đổi thành $Y$ $X\le c$ $|b-a|$ $\rho$ $\Psi$ $\mathbb{E}(Y|X=x_q)$

E (Y | Ψ (X) = x_{q}) = E (Y | X = Ψ (x_{q})),

$\mathbb{E}(Y|\Psi(X) = x_q) = \mathbb{E}(Y|X = \Psi(x_q)),$

đó là một kỳ vọng có điều kiện cho ở một giá trị nào đó của nhỏ hơn hoặc bằng . $Y$ $X$ $c$

Hình 2: biểu đồ PDF của (Psi (X), Y)

Đường viền của PDF. Ở đây . Phân phối chuẩn bivariate ban đầu được cho tương quan , giảm xuống khoảng - giá trị đích - khi xác suất trong hai dải được hoán đổi. $(a,b] = (1.5, 1.75]$ $0.85$ $0.5$

Khi là phân phối chuẩn bivariate, là . Với điều kiện , kỳ vọng có điều kiện của được đẩy xuống cho và đến cho . Một cấu trúc tương tự, hoán đổi khoảng với , sẽ đẩy kỳ vọng có điều kiện của vô cùng xa theo hướng khác. Bằng cách điều chỉnh giá trị ban đầu của một chút, chúng tôi có thể bù cho sự thay đổi vô hạn trong $(X,Y)$ $c\to -\infty$ $|b-a|\to 0$ $\rho\ne 0$ $Y$ $-\infty$ $\rho \gt 0$ $+\infty$ $\rho \lt 0$ $(a,b]$ $[c, \infty)$ $Y$ $\rho$ $\rho$ điều đó xảy ra, cho thấy rằng bất kể giá trị ban đầu của có thể là gì, chúng ta không thể nói gì về kỳ vọng có điều kiện của tại bất kỳ điểm cụ thể nào . $\rho$ $Y$ $X=x_q$

(Có thể xử lý ngoại lệ rõ ràng bằng cách bắt đầu bằng phân phối bivariate với các lề Bình thường có hỗ trợ được giới hạn trong các dòng .) $\rho=0$ $y=\pm x$

— whuber
nguồn

+1 Điều này rất thú vị. Nó phần nào liên quan đến việc xây dựng mà tôi có trong đầu khi viết câu hỏi, nhưng nó được nhắm mục tiêu tốt hơn để di chuyển chỉ là điều kiện trong khu vực gần kề của lượng tử và một cuộc thảo luận chu đáo hơn tôi đã chơi. Kết luận của bạn có vẻ như lúc đầu đọc là chính xác. Cảm ơn bạn.

— Glen_b -Reinstate Monica

Trên thực tế +1 là không đầy đủ ở đây.

— Glen_b -Reinstate Monica

0

Nếu tôi hiểu chính xác câu hỏi của bạn, câu trả lời phụ thuộc vào "mối quan hệ phụ thuộc bivariate thực tế (copula)" được sử dụng.

Vâng, có giới hạn về giá trị mà một copula có thể mất phải không? Vậy tại sao không sử dụng copula comonotonicity và copmonotonicity copula để thiết lập các giới hạn.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Nguồn: Thorsten Schmidt - Đối phó với các công thức

— Henry E
nguồn

Câu hỏi hạn chế hơn các giới hạn đối với các công thức - bạn không thể đạt được các giới hạn đồng và đối kháng vì các ràng buộc đối với .

ρ

$\rho$

— Glen_b -Reinstate Monica