Khi nào thì một thống kê trung bình là một thống kê đầy đủ?

Tôi đã bắt gặp một nhận xét trên The Statistician rằng một trung bình mẫu thường có thể là một lựa chọn cho một thống kê đầy đủ, nhưng, bên cạnh trường hợp rõ ràng của một hoặc hai quan sát trong đó có nghĩa là mẫu, tôi không thể nghĩ về một thứ không tầm thường và iid khác trường hợp trung bình mẫu là đủ.

Trong trường hợp khi sự hỗ trợ của phân phối không phụ thuộc vào tham số chưa biết, chúng ta có thể gọi định lý Pitman-Koopman (Fréchet-Darmois-) , cụ thể là mật độ của các quan sát nhất thiết phải là dạng gia đình hàm mũ, để kết luận rằng, vì thống kê đủ tự nhiên cũng đủ tối thiểu, thì trung vị phải là một hàm của , điều này là không thể: sửa đổi một cực trị trong các quan sát , , sửa đổi nhưng không sửa đổi trung vị.S = n Σ i = 1 T ( x i ) S x 1 , ... , x n n > 2

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

Trong trường hợp thay thế khi sự hỗ trợ của phân phối phụ thuộc vào tham số chưa biết, chúng ta có thể xem xét trường hợp khi trong đó tập được lập chỉ mục bởi θ là hỗ trợ của . Trong trường hợp đó, định lý hệ số hàm ý rằng là hàm 0-1 của trung vị mẫu Thêm một quan sát tiếp theo giá trị nào sao cho không sửa đổi trung vị mẫu sau đó dẫn đến mâu thuẫn vì nó có thể nằm trong hoặc bên ngoài bộ hỗ trợ, trong khi

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ X n + 1 Tôi B n + 1 θ ( med ( x 1 : n + 1 ) ) = I B n θ ( med ( x 1 : n ) ) × tôi Một θ ( x n + 1 $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$