Các ước tính của đánh chặn và độ dốc trong hồi quy tuyến tính đơn giản độc lập?

Hãy xem xét một mô hình tuyến tính

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

và ước tính độ dốc và chặn và bằng cách sử dụng bình phương tối thiểu thông thường. Tham chiếu này cho một thống kê toán học làm cho tuyên bố rằng và là độc lập (trong chứng minh định lý của họ).$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Tôi không chắc tại sao tôi hiểu. Từ

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Điều này có nghĩa là và có tương quan với nhau không? Tôi có lẽ đang thiếu một cái gì đó thực sự rõ ràng ở đây.$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Chuyển đến cùng một trang trên trang con sau:

https://onlinecferences.science.psu.edu/stat414/node/278

Bạn sẽ thấy rõ hơn rằng họ chỉ định mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản với biến hồi quy tập trung vào giá trị trung bình mẫu của nó . Và điều này giải thích tại sao sau đó họ nói rằng và là độc lập. $\hat \alpha$$\hat \beta$

Đối với trường hợp khi các hệ số được ước tính với một biến hồi quy không phải là trung tâm, hiệp phương sai của chúng là

Vì vậy, bạn thấy rằng nếu chúng ta sử dụng một biến hồi quy tập trung vào , hãy gọi nó là , biểu thức hiệp phương sai ở trên sẽ sử dụng giá trị trung bình mẫu của biến hồi quy trung tâm, , sẽ là 0 và vì vậy nó cũng sẽ bằng không và các công cụ ước tính hệ số sẽ độc lập.$\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Bài này , chứa nhiều hơn về đại số OLS hồi quy tuyến tính đơn giản.