Ước tính khả năng tối đa cho tối thiểu các phân phối theo cấp số nhân

Tôi đang bị mắc kẹt về cách giải quyết vấn đề này.

Vì vậy, chúng ta có hai chuỗi biến ngẫu nhiên, và cho . Bây giờ, và là các phân phối hàm mũ độc lập với các tham số và . Tuy nhiên, thay vì quan sát và , chúng ta quan sát thay vì và .$X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ và $W=1$ nếu $Z_i=X_i$ và 0 nếu $Z_i=Y_i$ . Tôi phải tìm kín các hình thức cho ước lượng tối đa khả năng của $\lambda$ và $\mu$ trên cơ sở $Z$ và $W$ . Hơn nữa, chúng ta cần chỉ ra rằng đây là những cực đại toàn cầu.

Bây giờ, tôi biết rằng tối thiểu của hai số mũ độc lập tự nó là số mũ, với tỷ lệ bằng tổng tỷ lệ, vì vậy chúng tôi biết rằng $Z$ là số mũ với tham số $\lambda+\mu$ . Do đó, công cụ ước tính khả năng tối đa của chúng tôi là: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Nhưng tôi bị mắc kẹt với nơi để đi từ đây. Tôi biết rằng $W$ là phân phối Bernoulli với tham số $p=P(Z_i=X_i)$ , nhưng tôi không biết làm thế nào để chuyển đổi điều này thành một tuyên bố về một trong các tham số. Ví dụ: MLE $\bar{W}$ sẽ ước tính điều gì về $\lambda$ và / hoặc $\mu$ ? Tôi hiểu rằng nếu $Z_i=X_i$ , thì $\mu=0$ , nhưng tôi đang gặp khó khăn khi tìm ra cách đưa ra bất kỳ tuyên bố đại số nào ở đây.

UPDATE 1: Vì vậy, tôi đã được cho biết trong các ý kiến để đưa ra khả năng cho việc phân phối chung của $Z$ và $W$ .

Vậy trong đó . Chính xác? Tôi không biết làm thế nào khác để có được một phân phối chung trong trường hợp này, vì và không độc lập.$f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Vì vậy, điều này mang lại cho chúng tôi, , theo định nghĩa của ở trên. Nhưng bây giờ thì sao? Điều này không đưa tôi đến bất cứ đâu. Nếu tôi trải qua các bước tính toán khả năng, tôi sẽ nhận được: (sử dụng và làm kích thước mẫu cho từng phần của hỗn hợp ...)$f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Nếu tôi lấy các đạo hàm riêng, điều này nói với tôi rằng MLE tôi ước tính cho và chỉ là mức trung bình của 's có điều kiện trên . Đó là,$\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

và

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Tôi không có đủ điểm để bình luận, vì vậy tôi sẽ viết ở đây. Tôi nghĩ rằng vấn đề bạn đăng có thể được xem xét từ góc độ phân tích sinh tồn, nếu bạn xem xét các vấn đề sau:

$X_i$ : Thời gian sống sót thực sự,

$Y_i$ : Thời gian kiểm duyệt,

Cả hai đều có phân phối theo cấp số nhân với và độc lập. Thì là thời gian tồn tại được quan sát và là chỉ số kiểm duyệt.$X$$Y$$Z_i$$W_i$

Nếu bạn quen thuộc với phân tích sinh tồn, tôi tin rằng bạn có thể bắt đầu từ thời điểm này.

Lưu ý: Một nguồn tốt: Phân tích dữ liệu sinh tồn của DRCox và D.Oakes

Dưới đây là một ví dụ: Giả sử pdf của phân phối thời gian tồn tại là . Khi đó hàm sinh tồn là: . Và khả năng đăng nhập là:$f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

với tổng số người bị kiểm duyệt ( ) và người bị kiểm duyệt ( ) tương ứng.$u$$c$

Do thực tế là trong đó h (t) là hàm nguy hiểm, điều này có thể được viết:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Và công cụ ước tính khả năng tối đa của là:$\hat{\rho}$$\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ trong đó là tổng số trường hợp của$d$$W_i=1$