Làm thế nào để dư có liên quan đến các rối loạn cơ bản?

Trong phương pháp bình phương tối thiểu, chúng tôi muốn ước tính các tham số chưa biết trong mô hình:

Khi chúng tôi đã thực hiện điều đó (đối với một số giá trị được quan sát), chúng tôi nhận được đường hồi quy được trang bị:

Bây giờ rõ ràng chúng tôi muốn kiểm tra một số lô để đảm bảo rằng các giả định được thực hiện. Giả sử bạn muốn kiểm tra tính đồng nhất, tuy nhiên, để làm điều này, chúng tôi thực sự đang kiểm tra phần dư . Hãy nói rằng bạn kiểm tra dư vs cốt truyện giá trị dự đoán, nếu điều đó cho chúng ta thấy các biến ngẫu nhiên đó là rõ ràng, sau đó như thế nào có liên quan đến thuật ngữ xáo trộn ε j ? Liệu sự không đồng nhất trong phần dư có nghĩa là sự không đồng nhất trong các điều khoản xáo trộn? $e_j$$\varepsilon_j$

$e_j = y_j-\hat y_j$$\hat\varepsilon_j = e_j$$N-p-1$$p-1$$0$

$\hat{\varepsilon}$$\varepsilon$

$H$$X(X^TX)^{-1}X^T$

$\hat{\varepsilon}_i$$i$

Dưới đây là một ví dụ, sử dụng tập carsdữ liệu trong R. Hãy xem xét điểm được đánh dấu màu tím:

$i$$\hat{\varepsilon}_i\approx 0.98\varepsilon_i +\sum_{j\neq i} w_j \varepsilon_j$$w_j$

Chúng ta có thể viết lại như sau:

$\hat{\varepsilon}_i\approx 0.98\varepsilon_i +\eta_i$

hay nói chung hơn

$\hat{\varepsilon}_i= (1-h_{ii})\varepsilon_i +\eta_i$

$h_{ii}$$i$$H$$w_j$$h_{ij}$

$N(0,\sigma^2)$$i$

Điều đó có nghĩa là, trong các hồi quy được xử lý tốt, phần dư có thể được xử lý như một ước tính ồn ào vừa phải không thể quan sát được của cụm từ lỗi. Khi chúng tôi xem xét các điểm xa hơn từ trung tâm, mọi thứ hoạt động có phần kém độc đáo hơn (phần dư trở nên ít trọng số hơn đối với lỗi và trọng số của các lỗi khác trở nên ít hơn).

$X$