Tại sao giá cổ phiếu là bất thường nhưng lợi nhuận cổ phiếu là bình thường

Ngoại trừ thực tế là lợi nhuận có thể âm trong khi giá phải dương, có lý do nào khác đằng sau việc mô hình hóa giá cổ phiếu như một bản phân phối bình thường nhưng mô hình trả lại cổ phiếu như một bản phân phối bình thường không?

Một số điểm để bắt đầu với:

i) các quy ước phân phối này là gần đúng nhất. Chúng có thể là các mô hình thuận tiện, nhưng chúng ta không nên nhầm lẫn rằng với việc phân phối thực tế của giá cổ phiếu hoặc lợi nhuận.

$y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$$\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Nghĩa là, lợi nhuận xấp xỉ với sự thay đổi của giá cổ phiếu log (hãy thử với giá cổ phiếu thực và thấy chúng gần như giống hệt nhau).

Vì thế nếu

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

ngụ ý

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

sau đó

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$