Có cách nào để buộc một mối quan hệ giữa các hệ số trong hồi quy logistic không?

Tôi muốn chỉ định một mô hình hồi quy logistic nơi tôi có mối quan hệ sau:

$E[Y_i|X_i] = f(\beta x_{i1} + \beta^2x_{i2})$ trong đó là hàm logit nghịch đảo.$f$

Có cách nào "nhanh chóng" để làm điều này với các hàm R có sẵn hay có tên cho một mô hình như thế này không? Tôi nhận ra rằng tôi có thể sửa đổi thuật toán Newton-Raphson được sử dụng cho hồi quy logistic nhưng đây là rất nhiều công việc lý thuyết và mã hóa và tôi đang tìm kiếm một cách rút gọn.

EDIT: nhận ước tính điểm cho khá dễ dàng bằng cách sử dụng tối ưu hóa () hoặc một số trình tối ưu hóa khác trong R để tối đa hóa khả năng. Nhưng tôi cần lỗi tiêu chuẩn về những kẻ này.$\beta$

Điều này khá dễ thực hiện với chức năng tối ưu trong R. Hiểu biết của tôi là bạn muốn chạy hồi quy logistic trong đó y là nhị phân. Bạn chỉ cần viết hàm và sau đó dán nó vào tối ưu. Dưới đây là một số mã tôi không chạy (mã giả).

#d is your data frame and y is normalized to 0,1
your.fun=function(b)
{

    EXP=exp(d$x1*b +d$x2*b^2)

    VALS=( EXP/(1+EXP) )^(d$y)*( 1/(1+EXP) )^(1-d$y) 
    return(-sum(log(VALS)))
}

result=optim(0,your.fun,method="BFGS",hessian=TRUE)
# estimates 
 result$par
    #standard errors
    sqrt(diag(inv(result$hessian)))
# maximum log likelihood
-result$value

Lưu ý rằng your.fun là phủ định của hàm khả năng đăng nhập. Vì vậy, tối ưu hóa là tối đa hóa khả năng đăng nhập (theo mặc định tối ưu hóa tối thiểu hóa mọi thứ đó là lý do tại sao tôi làm cho hàm âm). Nếu Y không phải là nhị phân, hãy truy cập http://fisher.osu.edu/~schroeder.9/AMIS900/ch5.pdf để biết các dạng hàm đa phương thức và điều kiện trong các mô hình logit.

Câu trả lời trên là chính xác. Để tham khảo, đây là một số mã R hoạt động được xây dựng để tính toán nó. Tôi có quyền tự do thêm một đánh chặn, bởi vì bạn có thể muốn một trong số đó.

## make some data
set.seed(1234)
N <- 2000
x1 <- rnorm(N)
x2 <- rnorm(N)
## create linear predictor
lpred <- 0.5 + 0.5 * x1 + 0.25 * x2
## apply inverse link function
ey <- 1/(1 + exp(-lpred))
## sample some dependent variable
y <- rbinom(N, prob=ey, size=rep(1,N))

dat <- matrix(c(x1, x2, y), nrow=N, ncol=3)
colnames(dat) <- c('x1', 'x2', 'y')

Bây giờ xây dựng hàm khả năng ghi nhật ký để tối đa hóa, ở đây sử dụng dbinomvì nó ở đó và tổng hợp kết quả

## the log likelihood function
log.like <- function(beta, dat){
  lpred <- beta[1] + dat[,'x1'] * beta[2] + dat[,'x2'] * beta[2]**2
  ey <- 1/(1 + exp(-lpred))
  sum(dbinom(dat[,'y'], prob=ey, size=rep(1,nrow(dat)), log=TRUE))
}

và phù hợp với mô hình theo khả năng tối đa. Tôi không bận tâm để cung cấp một gradient hoặc chọn một phương pháp tối ưu hóa, nhưng bạn có thể muốn làm cả hai.

## fit
res <- optim(par=c(1,1), ## starting values 
             fn=log.like,
             control=list(fnscale=-1), ## maximise not minimise
             hessian=TRUE, ## for SEs
             dat=dat)

Bây giờ hãy xem kết quả. Các ước tính tham số ML và SE không triệu chứng là:

## results
data.frame(coef=res$par,
           SE=sqrt(diag(solve(-res$hessian))))

cần được

##        coef         SE
## 1 0.4731680 0.04828779
## 2 0.5799311 0.03363505

hoặc có một lỗi (luôn luôn có thể).

Những cảnh báo thông thường về lỗi tiêu chuẩn có nguồn gốc từ Hessian được áp dụng.