Công thức cho hồi quy tuyến tính đơn giản có trọng số

Trang wiki này Hồi quy tuyến tính đơn giản có các công thức để tính toán$\alpha$ và $\beta$. Bất cứ ai có thể cho tôi biết làm thế nào để lấy được các công thức trong trường hợp có trọng số?

Hãy nghĩ về bình phương tối thiểu thông thường (OLS) như một "hộp đen" để giảm thiểu

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

cho một bảng dữ liệu $i^\text{th}$ hàng là bộ $(1, x_i, y_i)$.

Khi có trọng lượng, nhất thiết phải tích cực, chúng ta có thể viết chúng là $w_i^2$. Theo định nghĩa, bình phương tối thiểu có trọng số giảm thiểu

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Nhưng đó chính xác là những gì hộp đen OLS đang giảm thiểu khi được cung cấp bảng dữ liệu bao gồm các bộ dữ liệu "có trọng số" $(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$. Vì vậy, áp dụng các công thức OLS cho các bộ dữ liệu có trọng số này sẽ mang lại công thức bạn tìm kiếm.