Một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình phát triển theo thời gian, vậy nó có thực sự là một cách hay hơn để nói "chuỗi thời gian" không?

Bởi vì nhiều sự khác biệt đáng lo ngại đang xuất hiện trong các bình luận và câu trả lời, chúng ta hãy tham khảo một số cơ quan chức năng.

James Hamilton thậm chí không định nghĩa một chuỗi thời gian, nhưng anh ta rõ ràng về cái đó là gì:

... Tập hợp các số này chỉ là một kết quả có thể có của quá trình ngẫu nhiên cơ bản đã tạo ra dữ liệu. Thật vậy, ngay cả khi chúng ta tưởng tượng đã quan sát quá trình trong một khoảng thời gian vô tận, đến chuỗi chuỗi vô hạn sẽ vẫn được xem như là một nhận thức duy nhất từ ​​một quá trình chuỗi thời gian. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { ... , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , ... , y T , y T + 1 , y T + 2 , ... , } , { y t } ∞ t = $T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Hãy tưởng tượng pin của ... máy tính tạo chuỗi và xem xét chọn quan sát liên quan đến ngày từ mỗi trình tự: Điều này sẽ được mô tả như là một mẫu của nhận ra biến ngẫu nhiên . ...{ y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , ... , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ t { y ( 1 ) t , y ( 2 ) t , ... , y ( I $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$TôiY

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Phân tích chuỗi thời gian , Chương 3.)

Do đó, "quy trình chuỗi thời gian" là một tập hợp các biến ngẫu nhiên được lập chỉ mục bởi các số nguyên .$\{Y_t\}$$t$

Trong phương trình vi phân ngẫu nhiên, Bernt Øksendal cung cấp một định nghĩa toán học tiêu chuẩn của một quá trình ngẫu nhiên chung:

Định nghĩa 2.1.4. Một quy trình ngẫu nhiên là một tập hợp các biến ngẫu nhiên được tham số hóa được xác định trên một không gian xác suất và giả sử các giá trị trong .

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

Không gian tham số thường là (như trong cuốn sách này) nửa dòng , nhưng nó cũng có thể là một khoảng , các số nguyên không âm và thậm chí là các tập con của cho .$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Đặt cả hai lại với nhau, chúng ta thấy rằng một quy trình chuỗi thời gian là một quy trình ngẫu nhiên được lập chỉ mục bởi các số nguyên.

Một số người sử dụng "chuỗi thời gian" để chỉ việc thực hiện quy trình chuỗi thời gian (như trong bài viết Wikipedia ). Chúng ta có thể thấy trong ngôn ngữ của Hamilton một nỗ lực hợp lý để phân biệt quá trình với việc thực hiện bằng cách sử dụng "quy trình chuỗi thời gian" của mình, để anh ta có thể sử dụng "chuỗi thời gian" để chỉ việc thực hiện (hoặc thậm chí dữ liệu).

$\left\{X_t\right\}$

Xác định một quá trình ngẫu nhiên

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Xác định một chuỗi thời gian

Trong khi một quá trình ngẫu nhiên có một định nghĩa toán học rõ ràng. Chuỗi thời gian là một khái niệm ít chính xác hơn và mọi người sử dụng chuỗi thời gian để chỉ hai đối tượng có liên quan nhưng khác nhau:

1. Như WHuber mô tả, một quy trình ngẫu nhiên được lập chỉ mục bởi các số nguyên hoặc một số đơn vị thời gian gia tăng, thông thường có thể theo nghĩa được ánh xạ tới các số nguyên (ví dụ: dữ liệu hàng tháng).
2. Một bộ sưu tập dữ liệu quan sát đều đặn. Đây có thể là sự hiện thực hóa của một quá trình ngẫu nhiên được lập chỉ mục bởi các số nguyên. Đôi khi điều này được gọi là dữ liệu chuỗi thời gian.

Ví dụ: hai cú lật

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

Sự khác biệt giữa quy trình ngẫu nhiên và chuỗi thời gian có phần giống như sự khác biệt giữa con mèo trên bàn phím và câu trả lời trên Stack Exchange: Mèo trên bàn phím có thể tạo ra câu trả lời, nhưng con mèo trên bàn phím không phải là câu trả lời. Hơn nữa, không phải mọi câu trả lời đều được tạo ra bởi một con mèo trên bàn phím.

Một chuỗi thời gian có thể được hiểu là một tập hợp các cặp điểm dữ liệu-giá trị thời gian. Mặt khác, một quá trình ngẫu nhiên là một mô hình toán học hoặc mô tả toán học về phân phối chuỗi thời gian¹. Một số chuỗi thời gian là sự hiện thực hóa các quá trình ngẫu nhiên (thuộc một trong hai loại). Hoặc, từ quan điểm khác: Tôi có thể sử dụng quy trình ngẫu nhiên làm mô hình để tạo chuỗi thời gian.

Hơn nữa, chuỗi thời gian cũng có thể được tạo theo các cách khác:

• Chúng có thể là kết quả của các quan sát và do đó được tạo ra bởi thực tế. Mặc dù tôi có thể mô hình hóa thực tế như một quá trình ngẫu nhiên (tôi cũng có thể nói rằng tôi coi thực tế là một quá trình ngẫu nhiên), thực tế không phải là một quá trình ngẫu nhiên theo cách mà bên trong hộp không phải là một tập hợp các điểm (mặc dù chúng ta thường liên quan đến hai tương đương trong bối cảnh mô hình).

• $x=2$

^{Nếu đó là một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc. Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục là phân phối các chức năng chứ không phải là chuỗi thời gian.}

Tôi đánh giá cao tất cả các cuộc thảo luận / bình luận đóng góp về chủ đề của chuỗi thời gian so với quá trình Stochastic. Dưới đây là sự hiểu biết của tôi về sự khác biệt: Chuỗi thời gian là một hiện tượng được quan sát, được ghi lại dưới dạng một chuỗi các số được lập chỉ mục với thời gian quan sát; rất có thể là một loạt các quan sát về một hiện tượng thực tế như giá cổ phiếu trên Sàn giao dịch chứng khoán New York. Mặt khác, quá trình ngẫu nhiên luôn được hiểu là một biểu diễn toán học (không phải là sản xuất) của chuỗi thời gian.