Hiệp phương sai và độc lập?

54

Tôi đọc từ sách giáo khoa của mình rằng không đảm bảo X và Y là độc lập. Nhưng nếu họ độc lập, hiệp phương sai của họ phải bằng 0. Tôi chưa thể nghĩ ra bất kỳ ví dụ thích hợp nào; ai đó có thể cung cấp một? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Lợn bay
nguồn

10

Bạn cũng có thể thưởng thức một đánh giá nhanh về Bộ tứ của Anscombe , trong đó minh họa một số trong nhiều cách khác nhau trong đó một hiệp phương sai không đặc biệt có thể được nhận ra bằng một bộ dữ liệu bivariate.

— whuber

7

Điều cần lưu ý là số đo hiệp phương sai là số đo tuyến tính .. Tính toán hiệp phương sai đang trả lời câu hỏi 'Dữ liệu có tạo thành một mẫu đường thẳng không?' Nếu dữ liệu theo mô hình tuyến tính, do đó chúng phụ thuộc. NHƯNG, đây chỉ là một cách mà dữ liệu có thể phụ thuộc. Nó giống như hỏi 'Tôi lái xe liều lĩnh?' Một câu hỏi có thể là 'Bạn đang đi quá tốc độ 25 dặm / giờ?' Nhưng đó không phải là cách duy nhất để lái xe liều lĩnh. Một câu hỏi khác có thể là 'Bạn có say không?' vv .. Có nhiều hơn một cách để lái xe liều lĩnh.

— Adam

Cái gọi là thước đo tuyến tính mang lại cấu trúc cho mối quan hệ. Điều quan trọng là mối quan hệ có thể là phi tuyến tính không phải là hiếm. Nói chung, hiệp phương sai không bằng 0, đó là giả thuyết. Hiệp phương sai biểu thị độ lớn và không phải là tỷ lệ,

— Subhash C. Davar

48

Ví dụ dễ: Đặt là biến ngẫu nhiên là hoặc với xác suất 0,5. Sau đó đặt là biến ngẫu nhiên sao cho nếu và ngẫu nhiên hoặc với xác suất 0,5 nếu . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Rõ ràng và phụ thuộc rất nhiều (vì biết cho phép tôi hoàn toàn biết ), nhưng hiệp phương sai của chúng bằng 0: Cả hai đều có nghĩa là 0 và $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

Hay nói chung hơn, lấy bất kỳ phân phối và bất kỳ sao cho cho tất cả (nghĩa là phân phối chung đối xứng quanh trục ) và bạn sẽ luôn có hiệp phương sai bằng không. Nhưng bạn sẽ không độc lập bất cứ khi nào ; tức là các điều kiện không phải là tất cả bằng với biên. Hoặc ditto cho đối xứng quanh trục . $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpirl
nguồn

32

Dưới đây là ví dụ tôi luôn đưa ra cho các sinh viên. Lấy một biến ngẫu nhiên với và , ví dụ: biến ngẫu nhiên bình thường có giá trị trung bình bằng không. Lấy . Rõ ràng là và có liên quan, nhưng $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
nguồn

Tôi cũng thích ví dụ đó. Như một trường hợp cụ thể, một N (0,1) rv và một chi2 (1) rv không được sửa chữa.

— ocram

3

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

@DilipSarwate, cảm ơn, tôi đã chỉnh sửa câu trả lời của mình cho phù hợp. Khi tôi viết nó, mặc dù về các biến thông thường, đối với chúng, giây thứ ba không có nghĩa là 0.

— mpiktas

19

Hình ảnh bên dưới (nguồn Wikipedia ) có một số ví dụ ở hàng thứ ba, đặc biệt là ví dụ thứ nhất và thứ tư có mối quan hệ phụ thuộc mạnh mẽ, nhưng tương quan 0 (và 0 hiệp phương sai).

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— hư 101
nguồn

15

Một số ví dụ khác, hãy xem xét các điểm dữ liệu tạo thành một hình tròn hoặc hình elip, hiệp phương sai là 0, nhưng biết x bạn thu hẹp y thành 2 giá trị. Hoặc dữ liệu trong một hình vuông hoặc hình chữ nhật. Ngoài ra, dữ liệu tạo thành X hoặc V hoặc ^ hoặc <hoặc> đều sẽ cho hiệp phương sai 0, nhưng không độc lập. Nếu y = sin (x) (hoặc cos) và x bao gồm nhiều số nguyên của chu kỳ thì cov sẽ bằng 0, nhưng biết x bạn biết y hoặc ít nhất là | y | trong các trường hợp hình elip, x, <và>.

— Greg tuyết
nguồn

1

Rằng nếu là "nếu x bao gồm nhiều số nguyên bắt đầu từ một đỉnh hoặc đáy" hoặc nói chung hơn: "Nếu x bao gồm một khoảng mà y là đối xứng"

— naught101