Chứng tỏ rằng nếu

Hiện tại bị mắc kẹt về điều này, tôi biết có lẽ tôi nên sử dụng độ lệch trung bình của phân phối nhị thức nhưng tôi không thể tìm ra nó.

— nhà gỗ
nguồn

Xin chào, chào mừng đến với CV. Mặc dù các câu hỏi như thế này được chào đón, chúng tôi xử lý chúng theo cách khác - nếu bạn đưa thêm thông tin vào câu hỏi của mình, bạn có thể nhận được gợi ý và hướng dẫn. Vui lòng xem đoạn có liên quan trong trang trợ giúp của anh ấy và các hướng dẫn tại self-study wiki thẻ . Vui lòng thêm self-studythẻ và sửa đổi câu hỏi của bạn theo đề xuất (nghĩa là hiển thị những gì bạn đã cố gắng hoặc ít nhất là giải thích những gì bạn biết về kỳ vọng và nhị thức) và xác định những khó khăn của bạn nằm ở đâu.

— Glen_b -Reinstate Monica

bạn cũng có thể nhìn vào sự bất bình đẳng của jensen

— seanv507

@ seanv507 chắc chắn, nếu chúng ta sử dụng bất đẳng thức của Jensen, thì điều đó sẽ xảy ra trong một bước và nếu thyde đã che đậy thì đó là tất cả những gì cần thiết, nhưng trong trường hợp này có một bằng chứng thực sự cơ bản trong tầm tay của những sinh viên chỉ biết một số tính chất rất cơ bản của kỳ vọng và phương sai.

— Glen_b -Reinstate Monica

trở thành

, sau đó giải chúng ta nhận được:

. Điều này có đúng không?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

— thyde

Tôi nghĩ rằng bạn đang nhầm lẫn bản thân với Var. chỉ cần sử dụng E. bạn cần chỉ ra rằng

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

— seanv507

Vì vậy, luồng nhận xét không bùng nổ Tôi đang thu thập các gợi ý của tôi về một bằng chứng hoàn toàn cơ bản (bạn có thể thực hiện ngắn hơn thế này nhưng hy vọng điều này làm cho mỗi bước trở nên trực quan). Tôi đã xóa hầu hết các bình luận của mình (điều không may làm cho các bình luận trông hơi rời rạc).

Đặt . Lưu ý . Hiển thị . Nếu bạn đã biết , bạn có thể chỉ trạng thái , vì việc dịch chuyển bởi một hằng số không có gì thay đổi. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Đặt . Viết một bất đẳng thức rõ ràng trong , mở rộng và sử dụng kết quả trước đó. [Bạn có thể muốn sắp xếp lại một chút điều này thành một bằng chứng rõ ràng, nhưng tôi đang cố gắng thúc đẩy làm thế nào để đi đến một bằng chứng, không chỉ là bằng chứng cuối cùng.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Thats tất cả để có nó. Đó là 3 hoặc 4 dòng đơn giản, không sử dụng gì phức tạp hơn các tính chất cơ bản của phương sai và kỳ vọng (cách duy nhất để nhị thức đi vào nó là đưa ra dạng cụ thể của và - bạn có thể chứng minh trường hợp chung là độ lệch trung bình luôn luôn là dễ dàng như vậy). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Ngoài ra, nếu bạn quen thuộc với sự bất bình đẳng của Jensen, bạn có thể làm điều đó ngắn gọn hơn một chút.]

Bây giờ đã qua một thời gian, tôi sẽ phác thảo chi tiết hơn một chút về cách tiếp cận nó:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Lưu ý rằng phương sai phải tích cực. Kết quả như sau.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn