Logic đằng sau phương pháp của khoảnh khắc là gì?

Tại sao trong "Phương pháp của các khoảnh khắc", chúng ta đánh đồng các khoảnh khắc mẫu với các khoảnh khắc dân số để tìm công cụ ước tính điểm?

Đâu là logic đằng sau này?

intuition method-of-moments

— người dùng 31466
nguồn

Thật tuyệt nếu chúng ta có một nhà vật lý trong cộng đồng của mình giải quyết vấn đề này.

— Mugen

@mugen, tôi thấy không liên quan gì đến vật lý.

— Aksakal

@Aksakal họ cũng sử dụng những khoảnh khắc của các chức năng trong vật lý, và thật tuyệt khi ai đó thực hiện song song để giải thích tốt hơn.

— Mugen

Như đã đề cập trong câu trả lời này , luật số lượng lớn cung cấp một sự biện minh (mặc dù không có triệu chứng) để ước tính thời điểm dân số theo một khoảnh khắc mẫu, dẫn đến (thường) các công cụ ước tính

— Glen_b -Reinstate Monica

Không phải toàn bộ ý tưởng là đại diện cho các tham số bằng cách sử dụng khoảnh khắc? Giống như nếu bạn cố gắng ước tính tham số của phân phối Poisson, bằng cách tìm giá trị trung bình (khoảnh khắc đầu tiên), bạn có thể sử dụng nó làm công cụ ước tính cho tham số lambda của mình.

— denis631

Câu trả lời:

Một mẫu bao gồm thực hiện từ các biến ngẫu nhiên phân phối độc lập và độc lập là ergodic. Trong trường hợp như vậy, "các khoảnh khắc mẫu" là các ước lượng nhất quán của các khoảnh khắc lý thuyết của phân phối chung, nếu các khoảnh khắc lý thuyết tồn tại và là hữu hạn. $n$

Điều này có nghĩa rằng

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Vì vậy, bằng cách đánh đồng thời điểm lý thuyết với thời điểm mẫu tương ứng, chúng ta có

{\hat{μ}}_{k} (n) = = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Vì vậy, ( không phụ thuộc vào ) $\mu_k$ $n$

xin chào \hat{θ} (n) = = xin chào [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + xin chào e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Vì vậy, chúng tôi làm điều đó bởi vì chúng tôi có được các ước tính phù hợp cho các tham số chưa biết.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

"plim" có nghĩa là gì? Tôi không quen với "p" trong

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— người dùng 31466

@leaf giới hạn xác suất

— Alecos Papadopoulos

Điều gì sẽ xảy ra nếu nó là giới hạn thường xuyên thay vì giới hạn xác suất?

— người dùng 31466

Nó sẽ cho chúng ta biết rằng công cụ ước tính trở thành một hằng số, không phải là nó có xu hướng xác suất với một. Có lẽ bạn nên tìm kiếm các chế độ hội tụ của các biến ngẫu nhiên, wikipedia có phần giới thiệu khá, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Đồng ý. Sau đó, tôi tự hỏi liệu có ý nghĩa gì khi đặt một cái gì đó đơn giản như "... và trong một số điều kiện nhất định trên

μ_{k}

$\mu_k$

— Jerome Baum

Các nhà kinh tế lượng gọi đây là "nguyên tắc tương tự". Bạn tính toán dân số có nghĩa là giá trị mong đợi đối với phân bố dân số; bạn tính toán công cụ ước tính là giá trị mong đợi đối với phân phối mẫu và hóa ra đó là giá trị trung bình mẫu. Bạn có một biểu hiện thống nhất vào mà bạn cắm một trong hai quần thể , nói

T (F) = = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

hoặc mẫu

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

, do đó

là một nhóm các hàm delta và tích phân (Lebesgue) đối với

là tổng mẫu

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

. Nếu chức năng

(yếu) khác biệt và

hội tụ theo nghĩa thích hợp với

, thì có thể dễ dàng xác định rằng ước tính là phù hợp, mặc dù dĩ nhiên cần nhiều hoopla hơn có được nói bình thường tiệm cận.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— StasK
nguồn

Tôi chưa từng nghe điều này được gọi là "nguyên tắc tương tự", nhưng thực tế nó là một mẫu phân tích kinh tế lượng thường được sử dụng: cắm công cụ ước lượng mẫu bất cứ khi nào cần tham số dân số nhưng không rõ.

— Aksakal

@Aksakal: "cắm công cụ ước tính mẫu bất cứ khi nào cần tham số dân số nhưng không xác định." không phải cách tiếp cận này được gọi đơn giản là thống kê?

— user603

@ user603: Không, không phải. Có những cách tiếp cận khác, và những người ước tính plu-in có thể xấu.

— kjetil b halvorsen