Lấy mẫu CDF nghịch đảo cho phân phối hỗn hợp

Phiên bản ngắn ngoài ngữ cảnh

Đặt là biến ngẫu nhiên với CDF F ( ⋅ ) ≡ { θ  y = 0  θ + ( 1 - θ ) × CDF log-bình thường ( ⋅ ; μ , σ ) $y$

$$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$$

Giả sử tôi muốn mô phỏng các bản vẽ của bằng phương pháp CDF nghịch đảo. Điều đó có thể không? Hàm này không chính xác có nghịch đảo. Sau đó, một lần nữa lại có lấy mẫu biến đổi nghịch đảo để phân phối hỗn hợp của hai phân phối bình thường cho thấy rằng có một cách đã biết để áp dụng lấy mẫu biến đổi nghịch đảo ở đây.$y$

Tôi biết phương pháp hai bước, nhưng tôi không biết làm thế nào để áp dụng nó vào tình huống của mình (xem bên dưới).

---

Phiên bản dài với nền

Tôi đã trang bị mô hình sau cho phản hồi có giá trị véc tơ, , sử dụng MCMC (cụ thể là Stan):$y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

$$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$$

Trong đó lập chỉ mục quan sát, là ma trận tương quan và là vectơ của các yếu tố dự đoán / hồi quy / tính năng.N R $i$$N$$R$$x$

Đó là, mô hình của tôi là một mô hình hồi quy trong đó phân phối có điều kiện của phản hồi được giả sử là một copula Gaussian với các biên log-log thông thường được bơm bằng không. Tôi đã đăng về mô hình này trước đây; Hóa ra Song, Li và Yuan (2009, gated ) đã phát triển nó và họ gọi nó là GLM vector, hay VGLM. Sau đây là thông số kỹ thuật của chúng gần với nguyên văn như tôi có thể nhận được: MyF K G m z q R

$$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$$ $F_K$tương ứng với của họ , của tôi tương ứng với và của tôi tương ứng với của họ ; các chi tiết ở trang 62 (trang 3 của tệp PDF) nhưng về mặt khác thì giống hệt với những gì tôi đã viết ở đây.$G_m$$z$$\mathbf{q}$$R$$\Gamma$

Phần không phồng lên gần như theo đặc điểm kỹ thuật của Liu và Chan (2010, chưa được chỉnh sửa ).

Bây giờ tôi muốn mô phỏng dữ liệu từ các tham số ước tính, nhưng tôi hơi bối rối về cách thực hiện. Đầu tiên tôi nghĩ rằng tôi chỉ có thể mô phỏng trực tiếp (theo mã R):$y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

mà không sử dụng ở tất cả. Tôi muốn thử thực sự sử dụng ma trận tương quan mà tôi ước tính.$R$

Ý tưởng tiếp theo của tôi là lấy số và sau đó chuyển chúng trở lại . Điều này dường như cũng trùng khớp với các câu trả lời trong Tạo mẫu từ Copula trong lấy mẫu R và Bivariate để phân phối được thể hiện trong định lý copula của Sklar? . Nhưng cái quái gì là ở đây? Lấy mẫu biến đổi nghịch đảo để phân phối hỗn hợp của hai phân phối bình thường làm cho nó có vẻ như điều này là có thể, nhưng tôi không biết làm thế nào để làm điều đó.y F - $z$$y$$F^{-1}$

Câu trả lời cho phiên bản dài với nền:

Câu trả lời này cho phiên bản dài phần nào giải quyết một vấn đề khác và, vì dường như chúng ta gặp khó khăn khi xây dựng mô hình và vấn đề, tôi chọn cách viết lại nó ở đây, hy vọng chính xác.

Đối với , mục tiêu là mô phỏng các vectơ sao cho có điều kiện trên một đồng biến , với . Do đó, nếu muốn mô phỏng dữ liệu từ mô hình này, người ta có thể tiến hành như sau:$1\le i\le I$$y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$$x^i$

$$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$$ $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$

Trong ,$1\le i\le I$

1. Tạo$z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
2. Tạo$u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
3. Lấy cho$y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$$1\le k\le K$

Nếu ai quan tâm đến thế hệ từ sau của cho các , đây là một vấn đề khó khăn hơn, mặc dù khả thi bởi Gibbs lấy mẫu hoặc ABC.$(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$$y^i_ k$

Câu trả lời cho phiên bản ngắn ngoài ngữ cảnh:

X ∼ F  tương đương với  X = F - ( U )  khi  U ∼ U ( 0 , 1

$$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$$ $$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$$ $F(y)$$\theta$$y=0$$F^{-}(u)=0$$u\le\theta$$\mathcal{U}(0,1)$$\theta$, thế hệ của bạn là . Khác, khi , cuối cùng bạn tạo ra từ phần liên tục, cụ thể là log-normal trong trường hợp của bạn. Điều này có nghĩa là sử dụng thế hệ ngẫu nhiên đồng phục thứ hai, , độc lập với lần rút đồng phục thứ nhất và đặt để có được thế hệ log-log thông thường.$X$$x=0$$u>\theta$$v$$y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$

Đây gần như là mã R của bạn

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

đang làm Bạn tạo Bernoulli với xác suất và nếu nó bằng , bạn biến nó thành log-normal. Vì nó bằng 1 với xác suất thay vào đó, bạn nên biến nó thành một mô phỏng log-normal khi nó bằng 0 thay vào đó, kết thúc bằng mã R đã sửa đổi:$\theta_k^i$$1$$\theta_k^i$

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])