Tại sao

Một chuỗi các công cụ ước tính $U_n$ cho một tham số $\theta$ là không bình thường nếu $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ . (nguồn) Sau đó, chúng tôi gọi $v$ là phương sai tiệm cận của $U_n$ . Nếu phương sai này bằng vớiràng buộc Cramer-Rao, chúng tôi nói rằng trình ước tính / trình tự là không hiệu quả.

Câu hỏi: Tại sao chúng ta sử dụng $\sqrt{n}$ nói riêng?

Tôi biết rằng đối với giá trị trung bình mẫu, và vì vậy sự lựa chọn này bình thường hóa nó. Nhưng kể từ khi định nghĩa ở trên áp dụng cho hơn giá trị trung bình mẫu, tại sao chúng ta vẫn chọn để bình thường hóa bởi $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ . $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— không biết gì
nguồn

Đối với một ước lượng tốt,

nên có nghĩa là

, tham số được ước tính, và phương sai của

nên hội tụ về

, có nghĩa là, sự phân bố của

nên được hội tụ với phân phối thoái hóa bằng một nguyên tử duy nhất tại

. Nhưng có rất nhiều cách khác nhau mà hội tụ này có thể xảy ra, ví dụ như

hoặc

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

v.v ... Chúng tôi muốn áp dụng soubriquetbình thường không có triệu chứngcho trường hợp sau, nhưng không áp dụng cho trường hợp trước.

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate

Ước tính hiệu quả là bình thường không có triệu chứng. vi.wikipedia.org/wiki/

— Kẻ

Có thể câu hỏi này có tiêu đề tốt hơn là "tính bình thường tiệm cận" hơn là "hiệu quả tiệm cận"? Tôi không rõ ràng nơi "hiệu quả" trở thành một khía cạnh thực chất của câu hỏi, thay vì chỉ là bối cảnh trong đó "tính bình thường tiệm cận" đã gặp phải.

— Cá bạc

Người ta chỉ cần kiểm tra một bằng chứng về tính bình thường tiệm cận của MLE! Căn bậc hai

là để tạo một định lý giới hạn trung tâm áp dụng cho trung bình mẫu!

n

$n$

— Megadeth

Câu trả lời:

Chúng tôi không được chọn ở đây. Về cơ bản, yếu tố "bình thường hóa" là yếu tố "ổn định phương sai với một cái gì đó hữu hạn", để biểu thức không đi về 0 hoặc vô cùng khi kích thước mẫu đi đến vô cùng, nhưng để duy trì phân phối ở giới hạn.

Vì vậy, nó phải là bất cứ điều gì nó phải có trong mỗi trường hợp. Tất nhiên điều thú vị là trong nhiều trường hợp nó xuất hiện rằng nó có được . (nhưng cũng xem bình luận của @ whuber bên dưới). $\sqrt n$

Một ví dụ tiêu chuẩn nơi yếu tố bình thường phải là , chứ không phải là $n$ là khi chúng ta có một mô hình $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

với tiếng ồn trắng, và chúng tôi ước tính chưa biết bởi Least squares thường. $u_t$ $\beta$

Nếu nó xảy ra thì giá trị thực của hệ số là , thì các OLS ước lượng là phù hợp và hội tụ tại thường $|\beta|<1$ tỷ lệ . $\sqrt n$

Nhưng nếu thay vào đó, giá trị thực là (nghĩa là trong thực tế chúng ta có một bước đi ngẫu nhiên thuần túy), thì công cụ ước tính OLS là nhất quán nhưng sẽ hội tụ "nhanh hơn", ở tốc độ (đôi khi được gọi là công cụ ước tính "siêu tới hạn" Tôi đoán, rất nhiều người ước tính hội tụ ở tỷ lệ $\beta=1$ $n$ ). Trong trường hợp này, để có được (không bình thường) phân phối tiệm cận của nó, chúng tacóquy môbằng(nếu chúng ta chỉ mở rộng bởi $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ biểu thức sẽ về không). Hamilton ch 17có các chi tiết. $\sqrt n$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Alecos, bạn có thể làm rõ những gì đang được ước tính trong mô hình

(trong đó tôi cho rằng bạn có nghĩa là

và các quan sát được đăng ký

v.v.). Phải chăng vì trong mô hình

các OLS ước lượng

hội tụ ở mức

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

cho

nhưng khi

hội tụ là với tốc độ

, hoặc là nó là trường hợp mà trong mô hình

sự hội tụ luôn là với tốc độ

? Nói tóm lại, tầm quan trọng của tuyên bố "và

, nghĩa là một bước đi ngẫu nhiên thuần túy." Là gì?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Cảm ơn. Cập nhật. Tôi tin rằng nó đã rõ ràng bây giờ.

— Alecos Papadopoulos

(1) Nó có thể là đáng giá và bài học để lưu ý rằng việc lựa chọn

(hoặc

hoặc bất cứ điều gì có thể phù hợp) không phải là duy nhất. Thay vì nó bạn có thể sử dụngbất kỳchức năng

mà giá trị giới hạn của

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

bằng sự thống nhất. Chỉ theo nghĩa rộng hơn này,

"phải là bất cứ điều gì nó phải có."

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa OP đã hỏi về hiệu quả tiệm cận, nhưng trong quá trình đó, người ta đã tiết lộ rằng OP có thể có ấn tượng sai về các yếu tố "bình thường hóa". Đây là một vấn đề cơ bản hơn, vì vậy tôi đã chọn đề cập đến vấn đề này trong câu trả lời của mình. Không có gì được nói trong câu trả lời của tôi về hiệu quả.

— Alecos Papadopoulos

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ is called "superconsistent"? Currently the only other mention of "superconsistent" on CV which the site's search function can pick up is another one by Alecos! I think it's a good idea to make Qs and As more search-friendly.

— Silverfish

You were on the right track with a sample mean variance intuition. Re-arrange the condition:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

The last equation is informal. However, it's in some way more intuitive: you say that the deviation of $U_n$ from $\theta$ is becoming more like a normal distribution when $n$ increases. The variance is shrinking, but the shape becomes closer to normal distribution.

In math they don't define the convergence to the changing right hand side ( $n$ is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.

— Aksakal
nguồn

You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.

— mavavilj