Giải pháp để thực hiện 2.2a.16 của Thống kê mạnh mẽ của Gia đình: Cách tiếp cận dựa trên các chức năng ảnh hưởng

Trên trang 180 của Thống kê mạnh mẽ: Cách tiếp cận dựa trên các chức năng ảnh hưởng người ta tìm thấy câu hỏi sau:

16: Hiển thị rằng đối với các công cụ ước tính bất biến vị trí luôn luôn . Tìm giới hạn trên tương ứng trên điểm phân tích mẫu hữu hạn , cả hai trong trường hợp là số lẻ hoặc là số chẵn. $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

Phần thứ hai (sau khoảng thời gian) thực sự không quan trọng (được đưa ra phần đầu tiên) nhưng tôi không thể tìm ra cách chứng minh phần đầu tiên (câu) của câu hỏi.

Trong phần của cuốn sách liên quan đến câu hỏi này, người ta tìm thấy (tr98):

Định nghĩa 2: Điểm phân tích mẫu hữu hạn của công cụ ước tính tại mẫu được đưa ra bởi: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
trong đó mẫu $(z_1,\ldots,z_n)$ có được bằng cách thay thế $m$ điểm dữ liệu $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ bằng các giá trị tùy ý $y_1,\ldots,y_m.$

Định nghĩa chính thức của tự nó chạy gần như một trang, nhưng có thể được coi là Mặc dù không được xác định rõ ràng, một có thể đoán rằng bất biến vị trí có nghĩa là phải đáp ứng $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Tôi (cố gắng) trả lời câu hỏi của người đánh giá trong bình luận dưới đây. Cuốn sách định nghĩa công cụ ước tính là một vài trang, bắt đầu từ p82, tôi cố gắng sao chép các phần chính (tôi nghĩ rằng nó sẽ trả lời câu hỏi của người đánh máy): $T_n$

Giả sử chúng ta có các quan sát một chiều độc lập và phân phối giống hệt nhau (iid). Các quan sát thuộc về một số không gian mẫu , là một tập hợp con của dòng thực (thường là chỉ đơn giản bằng chính , vì vậy các quan sát có thể có bất kỳ giá trị nào ). Một mô hình tham số bao gồm một họ các phân phối xác suất , trên không gian mẫu, trong đó tham số chưa biết thuộc về một số không gian tham số $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Chúng tôi xác định mẫu với phân phối theo kinh nghiệm , bỏ qua chuỗi các quan sát (hầu như luôn luôn được thực hiện). Chính thức, , được cho bởi nơi , là hàng loạt điểm 1 trong . Là người ước tính của , chúng tôi xem xét số liệu thống kê có giá trị thực . Theo nghĩa rộng hơn, một công cụ ước tính có thể được xem như một chuỗi các số liệu thống kê , một cho mỗi kích thước mẫu có thể . Lý tưởng nhất là các quan sát được iid theo một thành viên của mô hình tham số $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , nhưng lớp của tất cả các phân phối xác suất có thể có trên lớn hơn nhiều. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Chúng tôi xem xét các công cụ ước tính là các hàm [tức là cho tất cả và ] hoặc có thể được thay thế một cách bất thường bởi các hàm. Điều này có nghĩa là chúng tôi giả sử rằng tồn tại một hàm [trong đó miền của là tập hợp của tất cả các bản phân phối mà được định nghĩa] sao cho trong xác suất khi các quan sát được iid theo phân phối đúng trong . Chúng tôi nói rằng $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ là giá trị tiệm cận của tại . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

Trong chương này, chúng tôi luôn giả định rằng các chức năng đang nghiên cứu là nhất quán Fisher (Kallianpur và Rao, 1955): có nghĩa là tại mô hình công cụ ước tính đo lường một cách không chính xác số lượng đúng. Khái niệm về tính nhất quán của Fisher phù hợp và thanh lịch hơn đối với các chức năng so với tính nhất quán thông thường hoặc không thiên vị không có triệu chứng.
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— người dùng603
nguồn

Làm thế nào chính xác cuốn sách này định nghĩa "ước tính"? Dường như với tôi, bất kỳ công cụ ước tính giới hạn cũng phải có điểm phân tích là , vì vậy chắc chắn nó đang đặt một số loại hạn chế đặc biệt đối với ; và luôn tồn tại các ước lượng bất biến vị trí giới hạn (chúng sẽ bao gồm các hằng số).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Cảm ơn bạn đã mở rộng tài liệu. Dường như vẫn còn rất nhiều phản vật chất. Một đơn giản là công cụ ước tính không đổi cho họ một tham số của các phân phối bình thường của phương sai . Đây là một ước lượng bất biến vị trí của phương sai. Điểm phân tích của nó là . Đó là tính nhất quán của Fisher (tầm thường), nhưng tôi cần diễn giải định nghĩa một cách cẩn thận: " " không thể tham chiếu tất cả các tham số, vì khi đó không có công cụ ước tính bất biến vị trí nào có thể nhất quán!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Cảm ơn, tôi hiểu ví dụ phản biện của bạn. Tôi nghĩ rằng tôi sẽ liên hệ với tác giả và hỏi thêm thông tin ...

— user603

Sách thống kê cũ hơn đã sử dụng "bất biến" theo một cách hơi khác so với người ta có thể mong đợi; thuật ngữ mơ hồ vẫn tồn tại. Một tương đương hiện đại hơn là "tương đương" (xem các tài liệu tham khảo ở cuối bài này). Trong bối cảnh hiện tại, nó có nghĩa là

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

cho tất cả thực tế . $c$

Sau đó, để giải quyết câu hỏi, giả sử có thuộc tính đủ lớn , tất cả thực và tất cả , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

Bất cứ khi nào khác với bởi nhiều nhất là ở nhiều nhất tọa độ . $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Đây là điều kiện yếu hơn so với giả định trong định nghĩa về sự cố bị ràng buộc. Trên thực tế, tất cả những gì chúng ta thực sự cần phải giả sử là khi đủ lớn, biểu thức " " là một giá trị được đảm bảo nhỏ hơn kích thước.) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

Bằng chứng là do mâu thuẫn. Giả sử, theo đó, này cũng tương đương và giả sử . Sau đó, với đủ lớn , là một số nguyên mà cả và . Với mọi số thực xác định $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

trong đó có 's và ' s. Bằng cách thay đổi hoặc ít hơn tọa độ, chúng tôi kết luận cả hai $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

và

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

Đối với , khẳng định bất đẳng thức tam giác $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

Sự bất bình đẳng nghiêm ngặt trên đường áp chót được đảm bảo cho đủ lớn . Mâu thuẫn mà nó ngụ ý, , chứng minh $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Người giới thiệu

EL Lehmann, Lý thuyết ước tính điểm . John Wiley 1983.

Trong văn bản (chương 3, phần 1) và một chú thích kèm theo mà Lehmann viết

Công cụ ước tính thỏa mãn cho tất cả sẽ được gọi là tương đương ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Một số tác giả gọi những người ước tính như vậy là "bất biến." Vì điều này cho thấy rằng công cụ ước tính không thay đổi theo , nên có vẻ nên dành thuật ngữ đó cho các hàm thỏa mãn cho tất cả . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
nguồn

vâng, tôi đã liên lạc với tác giả chính của cuốn sách ngày hôm qua với cùng một câu hỏi về định nghĩa thực tế của bất biến được sử dụng (tôi đã xem trong chỉ mục và tôi không thể tìm thấy nó rõ ràng trong cuốn sách). Tôi ủng hộ vì tôi nghĩ câu trả lời của bạn là đúng, nhưng sẽ cho tác giả một vài ngày để chắc chắn trước khi chấp nhận nó.

— dùng603

Tôi đã không nhận được câu trả lời từ tác giả nhưng các lập luận được trình bày ở trên (trong câu trả lời và nhận xét) đã thuyết phục tôi rằng đây thực sự phải là sự giải thích chính xác cho vấn đề.

— dùng603