Kỳ vọng vào các sản phẩm bậc cao của phân phối bình thường

Tôi có hai biến phân phối thông thường và với ma trận trung bình bằng 0 và hiệp phương sai . Tôi quan tâm đến việc cố gắng tính giá trị của theo các mục của . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Tôi đã sử dụng luật tổng xác suất để nhận nhưng tôi không chắc những gì kỳ vọng bên trong giảm xuống. Có một phương pháp khác ở đây? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Cảm ơn.

Chỉnh sửa: Các biến cũng là đa biến thường được phân phối.

normal-distribution conditional-expectation

— TUỔI
nguồn

Đỗ và thưởng thức một hai biến phân phối bình thường cũng? (Chỉ cần nói rằng và là bình thường với ma trận hiệp phương sai không đủ để kết luận rằng phân phối chung là chia nhỏ bình thường).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Đối với ứng dụng cụ thể mà tôi có trong đầu, và có phân phối chuẩn bivariate, theo định lý giới hạn trung tâm đa biến. Tôi quên đề cập đến điều này trong bài viết gốc của tôi.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK nếu bạn muốn làm rõ bài đăng của mình, có nút "chỉnh sửa" cho phép bạn thay đổi. Điều đó tốt hơn cho những độc giả tương lai, những người sau đó không phải tìm kiếm thông tin chính trong các bình luận bên dưới câu hỏi.

— Cá bạc

Kỳ vọng rõ ràng tỷ lệ thuận với sản phẩm của các yếu tố tỷ lệ bình phương . Hằng số tỷ lệ thu được bằng cách tiêu chuẩn hóa các biến, làm giảm thành ma trận tương quan với tương quan . $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Giả sử tính quy tắc bivariate, sau đó theo phân tích tại https://stats.stackexchange.com/a/71303 chúng ta có thể thay đổi các biến thành

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

Trong đó có phân phối chuẩn (không tương thích) phân phối chuẩn và chúng ta chỉ cần tính toán $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

trong đó giá trị chính xác của hằng số không quan trọng. ( là phần dư khi hồi quy so với .) Sử dụng các kỳ vọng đơn biến cho phân phối chuẩn thông thường $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

và lưu ý rằng và là sản lượng độc lập $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Nhân số này với mang lại $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Phương pháp tương tự áp dụng cho việc tìm kiếm kỳ vọng của bất kỳ đa thức nào trong , vì nó trở thành đa thức trong và rằng, khi được mở rộng, là một đa thức trong các biến và độc lập thường được phân phối . Từ $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

đối với tích phân (với tất cả các khoảnh khắc lẻ bằng 0 theo đối xứng) chúng ta có thể suy ra $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(với tất cả các kỳ vọng khác về đơn thức bằng 0). Điều này tỷ lệ thuận với chức năng siêu bội (gần như theo định nghĩa: các thao tác liên quan không sâu hoặc mang tính hướng dẫn),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

Thời gian hàm siêu bội được xem như là một hiệu chỉnh nhân cho nonzero . $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
nguồn

Cảm ơn các câu trả lời chi tiết! Tôi cũng đang suy nghĩ về các câu hỏi liên quan với các đa thức khác, vì vậy đây là một khung thực sự hữu ích. Đó là một sự chuyển đổi rất thông minh mà tôi chưa từng thấy trước đây. Mát mẻ!

— AGK

Để giúp điều tra của bạn, tôi đã cung cấp các chi tiết cho đa thức chung. Tôi đã rất thích thú, khi ban đầu viết câu trả lời này, để nhận ra rằng tôi đã học được sự chuyển đổi này từ sách giáo khoa thống kê cơ bản của Friedman, Pisani và Purves: chúng tôi dạy điều này cho sinh viên năm nhất đại học!

— whuber