Xác suất có điều kiện của biến liên tục

Giả sử rằng biến ngẫu nhiên $U$ tuân theo phân phối Thống nhất liên tục với các tham số 0 và 10 (tức là ) $U \sim \rm{U}(0,10)$

Bây giờ hãy biểu thị A sự kiện = 5 và B sự kiện bằng hoặc 6. Theo hiểu biết của tôi, cả hai sự kiện đều không có xác suất xảy ra. $U$ $U$ $5$

Bây giờ, nếu chúng ta xem xét tính , chúng ta không thể sử dụng luật điều kiện , vì bằng không. Tuy nhiên, trực giác của tôi nói với tôi rằng . $P(A|B)$ $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— Gà mờ
nguồn

Điều gì sẽ trực giác của bạn cho bạn biết nếu

U

$U$ có không đồng nhất mật độ

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$ ?

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Trực giác của tôi sẽ cho tôi biết rằng câu trả lời là một con số thấp hơn 0,5

— Noob

Câu trả lời:

"Khái niệm xác suất có điều kiện liên quan đến một giả thuyết bị cô lập có xác suất bằng 0 là không thể chấp nhận được." A. Kolmogorov

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, $X$ và $Y$ nói, phân phối có điều kiện được quy định bởi tài sản mà họ phục hồi các biện pháp khả gốc, có nghĩa là, cho tất cả các bộ đo lường $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ , $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ ,

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$ Điều này ngụ ý rằng mật độ có điều kiện được xác định tùy ý trên các tập hợp số 0 hoặc, nói cách khác, mật độ có điều kiện

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$ được định nghĩaở hầu hết mọi nơi. Vì tập

{5, 6}

$\{5,6\}$ là số 0 so với số đo Lebesgue, điều này có nghĩa là bạn có thể xác định cả

p (5)

$p(5)$ và

p (6)

$p(6)$ theo cách cư xử hoàn toàn tùy ý và do đó xác suất

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Điều này không có nghĩa là bạn không thể xác định mật độ có điều kiện theo công thức tỷ lệ

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$ như trong trường hợp thông thường bivariate mà đơn giản là mật độ chỉ được xác định gần như ở mọi nơi cho cả hai

x

$x$ và

y

$y$ .

"Nhiều tranh luận khá vô ích đã nổ ra - giữa các nhà xác suất có thẩm quyền khác - về kết quả nào trong số này là 'chính xác'." Jay Jaynes

Thực tế là lập luận giới hạn (khi về 0) trong câu trả lời trên dường như đưa ra câu trả lời tự nhiên và trực quan có liên quan đến nghịch lý của Borel . Sự lựa chọn của tham số trong các vấn đề giới hạn, như thể hiện trong ví dụ sau tôi sử dụng trong các lớp học đại học của mình. $\epsilon$

Lấy bình thường hai biến là gì mật độ có điều kiện của cho rằng ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

Nếu một bắt đầu từ mật độ doanh , câu trả lời "trực quan" là [tỉ lệ với] . Điều này có thể thu được bằng cách xem xét sự thay đổi của biến trong đó có mật độ $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = = (x, y - x) ~ φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

. Do đó

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

và

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

Tuy nhiên, nếu ta xem xét thay vì sự thay đổi của biến

mật độ biên của

là mật độ Cauchy

và mật độ có điều kiện của

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$

X

$X$ đã cho

là

Do đó,

R

$R$

f (x | r) = = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

Và đây nằm là "nghịch lý": những sự kiện

và

cũng giống như

, nhưng họ dẫn đến mật độ có điều kiện khác nhau trên

f (x | r = = 1) = = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— Tây An
nguồn

Đây chỉ là một lỗi bình thường. Nếu bạn tham gia một khóa học nghiêm ngặt về lý thuyết xác suất, bạn sẽ thấy rằng việc điều chỉnh các sự kiện của số 0 là có thể, và thực tế. Hãy xem xét một Gaussian bitivariate. Mọi người đều biết bạn có thể đặt điều kiện vào biến đầu tiên lấy giá trị 0, mặc dù sự kiện này có xác suất bằng không. Xem wikipedia. vi.wikipedia.org/wiki/ từ

— Yair Daon 6/2/2015

Đây là một câu trả lời gây tranh cãi:

Xi'an đúng rằng bạn không thể tạo điều kiện cho các sự kiện với xác suất bằng không. Tuy nhiên, Yair cũng đúng khi bạn quyết định quy trình giới hạn , bạn có thể đánh giá xác suất. Vấn đề là có nhiều quá trình giới hạn đến điều kiện mong muốn.

$(1, 11)$ $p$ $1-p$

Lưu ý rằng nhiều nhà thống kê không chấp nhận nguyên tắc thờ ơ. Tôi thích nó vì nó phản ánh trực giác của tôi. Mặc dù tôi không phải lúc nào cũng chắc chắn làm thế nào để áp dụng nó, nhưng có lẽ trong 50 năm nữa nó sẽ trở nên chủ đạo hơn?

— Neil G
nguồn

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

@whuber: Đối số lật sẽ không hoạt động đối với bản phân phối Cauchy, trừ khi bạn lật xung quanh chế độ của nó.

— Neil G

Chắc chắn là có: có rất nhiều cách để chuyển đổi một phân phối liên tục sang phân phối khác trao đổi hai giá trị. Trên thực tế, "lật" của bạn thậm chí không bảo toàn phân phối ban đầu. (Nó đã thay đổi hoàn toàn sự hỗ trợ của nó.) Vì vậy, có vẻ như tất cả những gì bạn đang làm là thay thế một phân phối bằng một phân phối khác. Dường như không có bất kỳ nguyên tắc nào hoạt động ở đây cả.

— whuber

@whuber: nó đã thay thế một phân phối bằng một phân phối khác, theo đó các vùng thống nhất xung quanh 5 và 6 không thay đổi - theo cách tôi nghĩ rằng việc thu nhỏ cố gắng để giữ mật độ không thay đổi trong các vòng tròn ban đầu trong nghịch lý Bertrand .

— Neil G

@whuber: Bạn nói đúng. Tôi thực sự thích câu trả lời của Khoai tây cho một trong những câu hỏi của tôi. Cá nhân tôi nghĩ rằng nếu có sự khác biệt giữa lý thuyết và trực giác, thì chúng ta nên tìm kiếm những lý thuyết mới, đầy đủ hơn. Có thể "nguyên tắc thờ ơ" không hoàn toàn đúng hoặc nói chung là không khả thi, nhưng tôi có một mong muốn tự nhiên về lý thuyết xác suất để trả lời các câu hỏi mà chúng ta có một sự hiểu biết trực quan. Có lẽ Lebesgue có cùng một kiểu giận dữ về sự hợp nhất Riemann khi anh ấy tạo ra sự hợp nhất của mình?

— Neil G

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ là một gaussian bivariate. Người ta thường xem xét mật độ của $X_1$ đưa ra (nói) $X_2 = 0$ , đó là một sự kiện của số không. Điều này là có cơ sở trong lý thuyết, nhưng không hề tầm thường. Về câu nói của Kolmogorov của @ Xi'an - Tôi chỉ có thể trích dẫn Varadhan: "Một trong những mục tiêu của chúng tôi là tìm kiếm một định nghĩa có ý nghĩa khi $P(\xi = a) = 0$ "(Lý thuyết xác suất, ghi chú bài giảng Courant, trang 74).

Vì vậy, vâng, bạn có thể đưa ra ý nghĩa cho điều kiện về các sự kiện của số không.

— Yair Daon
nguồn

Giả sử

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$ : đó là cả hai

0

$0$ và

10

$10$ là có thể Làm thế nào bạn sẽ đối phó với tình huống khi

A = {0}

$A=\{0\}$ và

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$ ? Sẽ

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$ (mà "trực giác" là câu trả lời đúng vì tất cả các số trong

[0, 10]

$[0,10]$ có cùng mật độ) hoặc có lẽ

1 / 3

$1/3$ (một sự thay đổi đơn giản của

5

$5$ đến

0

$0$ trong công thức của bạn sẽ cung cấp) hoặc thậm chí

0

$0$ ?

— whuber

@YairDaon Cảm ơn bạn đã trả lời! Nếu tôi hiểu rõ, bạn có nghĩa là làm như sau: cho nhỏ

ε

$\varepsilon$ , chúng ta có:

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

— Noob

@YairDaon Nhưng tôi nghĩ rằng kết quả không phải là bất biến nếu ban đầu chúng tôi đã định nghĩa A là

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$ (và B giống như trước). Trong trường hợp như vậy, kết quả sẽ là

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

— Noob

Thật tuyệt vời cho trực giác bằng cách cho thấy không có câu trả lời duy nhất: đó là cơ sở cho tuyên bố của Kolmogorov được trích dẫn bởi @ Xi'an. Thực tế là bạn đã phải thay đổi thủ tục của mình để khiến mọi thứ diễn ra như bạn nghĩ họ nên cảnh báo bạn về những vấn đề với phương pháp này.

— whuber

Mật độ của

X_{2}

$X_2$ được

X_{1}

$X_1$ được xác định rõ, trái với mật độ của

X_{2}

$X_2$ được

X_{1} = 0

$X_1=0$ .

— Tây An