Có một công thức cho một hình thức chung của vấn đề người sưu tập phiếu giảm giá?

Tôi tình cờ phát hiện ra vấn đề người sưu tập phiếu giảm giá và đang cố gắng tìm ra một công thức để khái quát hóa.

Nếu có $N$ đối tượng riêng biệt và bạn muốn thu thập ít nhất $k$ bản sao của mỗi $m$ trong số chúng (trong đó $m \le N$ ), thì bạn nên mua bao nhiêu đối tượng ngẫu nhiên?. Bài toán thu thập phiếu bình thường có $m = N$ và $k = 1$ .

Có 12 nhân vật LEGO khác nhau trong một bộ sưu tập. Tôi muốn thu thập 3 bản sao của mỗi 10 (bất kỳ 10) số liệu. Tôi có thể mua chúng ngẫu nhiên một lần. Tôi nên mua bao nhiêu trước khi tôi có 3 bản trong số 10 bản?

— nickponline
nguồn

Tôi không nhớ là đã thấy một công thức cho sự khái quát hóa cụ thể đó, nhưng đối với một câu hỏi cụ thể một lần như thế, tôi có xu hướng sử dụng mô phỏng.

— Glen_b -Reinstate Monica

Điều này không dễ để tính toán, nhưng nó có thể được thực hiện, cung cấp không quá lớn. (Con số này tính các trạng thái có thể bạn cần theo dõi trong khi thu thập phiếu giảm giá.) $\binom{m+k}{k}$

Hãy bắt đầu với một mô phỏng để hiểu được câu trả lời. Ở đây, tôi đã thu thập số liệu LEGO một triệu lần. Đường màu đen trong âm mưu này theo dõi tần suất của số lượng mua cần thiết để thu thập ít nhất ba trong số mười con số khác nhau.

Dải màu xám là khoảng tin cậy hai mặt xấp xỉ 95% cho mỗi lần đếm. Bên dưới tất cả là một đường cong màu đỏ: đây là giá trị thực.

$n=12$ $k=3$ $m=10$ $x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}$ $i_j$ $k=0$ $k=t$ $\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$

$i_0$ $i_0/n$ $i_1/n$

x_{0}^{{Tôi}_{0}} x_{1}^{{Tôi}_{1}} x_{2}^{{Tôi}_{2}} x_{3}^{{Tôi}_{3}} \to \frac{1}{n} ({Tôi}_{0} x_{0}^{{Tôi}_{0} - 1} x_{1}^{{Tôi}_{1} + 1} x_{2}^{{Tôi}_{2}} x_{3}^{{Tôi}_{3}} + \dots + {Tôi}_{3} x_{0}^{{Tôi}_{0}} x_{1}^{{Tôi}_{1}} x_{2}^{{Tôi}_{2} - 1} x_{3}^{{Tôi}_{3}}) .

$x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}\to \frac{1}{n}\left(i_0 x_0^{i_0-1}x_1^{i_1+1}x_2^{i_2}x_3^{i_3} + \cdots + i_3 x_0^{i_0}x_1^{i_1}x_2^{i_2-1}x_3^{i_3}\right).$

$(x_1 D_{x_0} + x_2 D_{x_1} + x_3 D_{x_2} + x_3 D_{x_3})/n$ $x_0^{12}=x_0^n$ $p$ $\binom{n+k}{k}$ $\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$ $p$ $i_3 \ge t$ $(m+1)\binom{n+k}{k}$

$6nk=216$ $10^{-17}$

n = 12;
threshold = 10;
k = 3;

(* Draw one object randomly from an urn with `n` of them *)
draw[p_] := 
  Expand[Sum[Subscript[x, i] D[#, Subscript[x, i - 1]], {i, 1, k}] + 
      Subscript[x, k] D[#, Subscript[x, k]] & @ p];

(* Find the chance that we have collected at least `k` each of `threshold` objects *)
f[p_] := Sum[
  Coefficient[p, Subscript[x, k]^t] /. 
   Table[Subscript[x, i] -> 1, {i, 0, k - 1}], {t, threshold, n}]

(* Compute the chances for a long series of draws *)
q = f /@ NestList[draw[#]/n &, Subscript[x, 0]^n, 6 n k];

Kết quả, mất khoảng hai giây để tính toán (nhanh hơn so với mô phỏng!) Là một loạt các xác suất được lập chỉ mục bởi số lần rút. Dưới đây là một âm mưu về sự khác biệt của nó, đó là xác suất kết thúc giao dịch mua hàng của bạn dưới dạng hàm số:

Đây chính xác là những con số được sử dụng để vẽ đường cong nền đỏ trong hình đầu tiên. (Một thử nghiệm chi bình phương cho thấy mô phỏng không khác biệt đáng kể so với tính toán này.)

$1-q$ $50.7619549386733$

— whuber
nguồn