Xác suất của một sự kiện không thể đo lường được

Chúng tôi biết từ lý thuyết đo lường rằng có những sự kiện không thể đo lường được, tức là chúng không thể đo lường được Lebesgue. Chúng ta gọi một sự kiện với xác suất mà phép đo xác suất không được xác định là gì? Những loại tuyên bố nào chúng ta sẽ đưa ra về một sự kiện như vậy?

Như tôi đã nêu trong các ý kiến, làm thế nào để đối phó với các loại sự kiện này (các bộ không thể đo lường được) được mô tả trong cuốn sách: Sự hội tụ yếu và các quá trình thực nghiệm của A. van der Vaart và A. Wellner. Bạn có thể duyệt vài trang đầu tiên.

Giải pháp làm thế nào để đối phó với các bộ này khá đơn giản. Xấp xỉ chúng với các bộ có thể đo lường được. Vì vậy, giả sử chúng ta có một không gian xác suất . Đối với mọi tập hợp xác định xác suất bên ngoài (nó nằm ở trang 6 trong sách):$(\Omega,\mathcal{A},P)$$B$

Nó chỉ ra rằng bạn có thể xây dựng một lý thuyết rất hiệu quả với định nghĩa này.

Chỉnh sửa: Theo nhận xét của hồng y: Tất cả những gì tôi nói dưới đây là ngầm về biện pháp Lebesgue (một biện pháp hoàn chỉnh). Đọc lại câu hỏi của bạn, có vẻ như đó cũng là những gì bạn đang hỏi về. Trong trường hợp đo Borel chung, có thể mở rộng biện pháp để bao gồm tập hợp của bạn (điều không thể xảy ra với thước đo Lebesgue vì nó đã lớn đến mức có thể).

Xác suất của một sự kiện như vậy sẽ không được xác định. Giai đoạn = Stage. Giống như một hàm có giá trị thực không được xác định cho số phức (không có thực), số đo xác suất được xác định trên các tập có thể đo được nhưng không phải trên các tập không đo được.

Vậy những tuyên bố nào chúng ta có thể đưa ra về một sự kiện như vậy? Vâng, đối với người mới bắt đầu, một sự kiện như vậy sẽ phải được xác định bằng cách sử dụng tiên đề của sự lựa chọn. Điều này có nghĩa là tất cả các bộ mà chúng ta có thể mô tả theo một số quy tắc đều bị loại trừ. Tức là, tất cả các bộ chúng ta thường quan tâm đều bị loại trừ.

Nhưng chúng ta không thể nói điều gì đó về xác suất của một sự kiện không thể đo lường được? Đặt một ràng buộc vào nó hoặc một cái gì đó? Nghịch lý của Banach-Tarski cho thấy điều này sẽ không hoạt động. Nếu số đo hữu hạn của các mảnh mà Banach-Tarski phân hủy quả cầu thành có giới hạn trên (giả sử là số đo của quả cầu), bằng cách xây dựng đủ các quả cầu, chúng ta sẽ gặp phải mâu thuẫn. Bằng một lập luận tương tự ngược, chúng ta thấy rằng các mảnh không thể có giới hạn dưới không tầm thường.

Tôi đã không chỉ ra rằng tất cả các tập hợp không thể đo lường được đều có vấn đề này, mặc dù tôi tin rằng một người thông minh hơn tôi sẽ có thể đưa ra một lập luận cho thấy rằng chúng ta không thể đưa ra bất kỳ cách thức nhất quán nào vào "biện pháp không tầm thường" "Của bất kỳ tập hợp không thể đo lường nào (thách thức đối với cộng đồng).

Tóm lại, chúng tôi không thể đưa ra bất kỳ tuyên bố nào về thước đo xác suất của một tập hợp như vậy, đây không phải là ngày tận thế vì tất cả các tập hợp có liên quan đều có thể đo lường được.

Đã có câu trả lời tốt, nhưng hãy để tôi đóng góp với một điểm khác. Các biện pháp Lebesgue thường được xem xét trên các Lebesgue -algebra, đó là hoàn thành, và, như đã chỉ ra, chúng ta cần những tiên đề chọn để thiết lập bộ Lebesgue không thể đo lường được. Trong lý thuyết xác suất chung, và, đặc biệt, liên quan đến các quá trình ngẫu nhiên, rõ ràng là bạn có thể thực hiện một sự hoàn thành có liên quan của -đau khớp và các sự kiện không thể đo lường được ít kỳ lạ hơn. Ở một khía cạnh nào đó, khoảng cách giữa Borel -achebra và Lebesgue -acheebra trên thú vị hơn các tập hợp kỳ lạ không có trong hiệp ước Lebesgue .$\sigma$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$\mathbb{R}$$\sigma$

Vấn đề mà tôi chủ yếu nhìn thấy, có liên quan đến câu hỏi, đó là một tập hợp (hoặc một hàm) có thể không rõ ràng có thể đo lường được. Trong một số trường hợp, bạn có thể chứng minh rằng nó thực sự là như vậy, nhưng nó có thể khó khăn và trong các trường hợp khác, bạn chỉ có thể chứng minh rằng nó có thể đo lường được khi bạn mở rộng -đau khớp bằng các bộ số không của một số biện pháp. Để điều tra các phần mở rộng của Borel -achebras trên các không gian tôpô, bạn sẽ thường bắt gặp cái gọi là bộ Souslin hoặc bộ phân tích, không cần đo lường được Borel.$\sigma$$\sigma$