Thống kê đơn hàng (ví dụ: tối thiểu) của bộ sưu tập vô hạn các biến thiên chi bình phương?

Đây là lần đầu tiên của tôi ở đây, vì vậy xin vui lòng cho tôi biết nếu tôi có thể làm rõ câu hỏi của mình bằng bất kỳ cách nào (bao gồm định dạng, thẻ, v.v.). (Và hy vọng tôi có thể chỉnh sửa sau!) Tôi đã cố gắng tìm tài liệu tham khảo và cố gắng tự giải quyết bằng cách sử dụng quy nạp, nhưng thất bại ở cả hai.

Tôi đang cố gắng để đơn giản hóa một phân phối mà dường như để giảm đến một thống kê thứ tự của một bộ đếm được vô hạn của độc lập biến ngẫu nhiên với mức độ khác nhau của tự do; Cụ thể, việc phân phối là gì thứ giá trị nhỏ nhất trong số độc lập ? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

Tôi sẽ được quan tâm trong trường hợp đặc biệt : sự phân bố của các tối thiểu (độc lập) là những gì ? $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

Trong trường hợp tối thiểu, tôi có thể viết hàm phân phối tích lũy (CDF) dưới dạng một sản phẩm vô hạn, nhưng không thể đơn giản hóa hơn nữa. Tôi đã sử dụng thực tế rằng CDF của là $\chi^2_{2m}$ (Với, điều này xác nhận nhận xét thứ hai bên dưới về sự tương đương với phân bố theo cấp số nhân với kỳ vọng 2.) CDF của mức tối thiểu sau đó có thể được viết là

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$

m = 1

$m=1$

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

Nhiệm kỳ đầu tiên trong sản phẩm chỉ là

, và thuật ngữ "cuối cùng" là

. Nhưng tôi không biết làm thế nào (nếu có thể?) Để đơn giản hóa nó từ đó. Hoặc có thể một cách tiếp cận hoàn toàn khác là tốt hơn.

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$

$\chi^2_2$ $\chi^2_4$

$x_i=1$ $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— David M Kaplan
nguồn

Điều này có trả lời câu hỏi của bạn không?

— mpiktas

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— Đức hồng y

@Cardinal Tất nhiên: đó là một cách tốt để xem nó. Sự tò mò không nằm trong mối quan hệ giữa Poissons và Gammas; Nó nằm trong mô tả của chính sự kiện!

— whuber

Câu trả lời:

Các số không của sản phẩm vô hạn sẽ là sự kết hợp các số không của các điều khoản. Tính toán đến nhiệm kỳ 20 cho thấy mô hình chung:

âm mưu của số không phức tạp

Biểu đồ các số 0 trong mặt phẳng phức này phân biệt sự đóng góp của các thuật ngữ riêng lẻ trong sản phẩm bằng các ký hiệu khác nhau: ở mỗi bước, các đường cong rõ ràng được mở rộng hơn nữa và một đường cong mới được bắt đầu xa hơn nữa.

Sự phức tạp của bức tranh này cho thấy không tồn tại giải pháp dạng đóng về các chức năng nổi tiếng của phân tích cao hơn (như gamma, thetas, hàm siêu bội, v.v., cũng như các hàm cơ bản, được khảo sát trong một văn bản cổ điển như Whittaker & Watson ).

Do đó, vấn đề có thể được đặt ra một cách hiệu quả hơn một chút khác biệt : bạn cần biết gì về phân phối số liệu thống kê đơn hàng? Ước tính các chức năng đặc trưng của họ? Khoảnh khắc đặt hàng thấp? Xấp xỉ vào lượng tử? Thứ gì khác?

— whuber
nguồn

Tại sao số không của sản phẩm có tầm quan trọng? Tôi cảm thấy mình đang thiếu một cái gì đó tầm thường.

— mpiktas

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

@whuber (1/2), cảm ơn! Tôi không biết về các lớp hàm khác nhau có các mẫu số 0 khác nhau trong mặt phẳng phức; Nghe có vẻ rất hữu ích và biểu đồ của bạn dường như trả lời câu hỏi của tôi (như được đặt ra).

— David M Kaplan

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

$\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

Xin lỗi vì đến muộn 6 năm. Mặc dù OP có thể đã chuyển sang các vấn đề khác, nhưng câu hỏi vẫn còn mới và tôi nghĩ tôi có thể đề xuất một cách tiếp cận khác.

$(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

$f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

Mỗi lần chúng tôi thêm một thuật ngữ phụ, pdf của thuật ngữ cận biên được thêm vào ngày càng xa hơn về phía bên phải, do đó, hiệu quả của việc thêm nhiều thuật ngữ ngày càng trở nên không chỉ ngày càng ít đi, mà chỉ sau một vài điều khoản , trở nên gần như không đáng kể - trên mẫu tối thiểu. Điều này có nghĩa là, thực tế, chỉ có một số lượng rất nhỏ các thuật ngữ có khả năng thực sự quan trọng ... và việc thêm các thuật ngữ bổ sung (hoặc sự hiện diện của vô số thuật ngữ) phần lớn không liên quan đến vấn đề tối thiểu mẫu.

Kiểm tra

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$

Nó hơi phức tạp khi số lượng thuật ngữ tăng ... nhưng tôi đã hiển thị đầu ra cho 1 thuật ngữ (hàng thứ 1), 2 thuật ngữ (hàng thứ hai), 3 thuật ngữ (hàng thứ 3) và 4 thuật ngữ ở trên.

Sơ đồ sau đây so sánh pdf của mẫu tối thiểu với 1 thuật ngữ (màu xanh), 2 thuật ngữ (màu cam), 3 điều khoản và 10 điều khoản (màu đỏ). Lưu ý kết quả tương tự như thế nào chỉ với 3 điều khoản so với 10 điều khoản:

Sơ đồ sau đây so sánh 5 thuật ngữ (màu xanh) và 10 thuật ngữ (màu cam) - các ô rất giống nhau, chúng xóa sạch nhau và thậm chí không thể thấy sự khác biệt:

Nói cách khác, việc tăng số lượng thuật ngữ từ 5 lên 10 hầu như không có tác động trực quan rõ rệt nào đến việc phân phối mẫu tối thiểu.

Xấp xỉ một nửa logistic

Cuối cùng, một xấp xỉ đơn giản tuyệt vời của pdf của mẫu min là phân phối nửa Logistic với pdf:

g (x) = \frac{2 e^{- x}}{{(e^{- x} + 1)}^{2}} for x > 0

$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$

Sơ đồ sau đây so sánh giải pháp chính xác với 10 thuật ngữ (không thể phân biệt với 5 thuật ngữ hoặc 20 thuật ngữ) và phép tính gần đúng nửa logistic (nét đứt):

Tăng lên 20 điều khoản làm cho không có sự khác biệt rõ rệt.

— chó sói
nguồn