Phân phối tối đa của hai biến bình thường tương quan

Nói rằng tôi có hai tiêu chuẩn biến ngẫu nhiên bình thường và mà là cùng nhau bình thường với hệ số tương quan .$X_1$$X_2$$r$

Hàm phân phối của gì?$\max(X_1, X_2)$

Theo Nadarajah và Kotz, 2008 , Phân phối chính xác các biến ngẫu nhiên thiểu của hai biến Gaussian , PDF của dường như là$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

trong đó là PDF và là CDF của phân phối chuẩn thông thường.$\phi$$\Phi$

$\hskip2in$

Hãy là bình thường PDF hai biến cho ( X , Y ) với marginals tiêu chuẩn và tương quan ρ . Theo định nghĩa, CDF tối đa là$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

PDF thông thường bivariate là đối xứng (thông qua sự phản chiếu) xung quanh đường chéo. Như vậy, tăng để z + d z thêm hai dải xác suất tương đương với bình phương bán vô hạn ban đầu: các infinitesimally dày trên một là ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] trong khi người đồng nhiệm phản ánh của nó, bên phải dải, là ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z ] .$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Mật độ xác suất của dải bên tay phải là mật độ của tại z lần so với tổng xác xuất có điều kiện rằng Y là ở dải, Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$ . Phân phối có điều kiện của Y luôn là Bình thường, vì vậy để tìm tổng xác suất có điều kiện này, chúng ta chỉ cần trung bình và phương sai. Giá trị trung bình có điều kiện của Y tại X là dự báo hồi quy ρ X và phương sai có điều kiện là "không giải thích được" biến var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2 .$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Bây giờ chúng ta biết phương sai trung bình và điều kiện, CDF có điều kiện của cho X có thể thu được bằng cách tiêu chuẩn hóa Y và áp dụng các tiêu chuẩn bình thường CDF Φ :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Đánh giá này tại và X = z và nhân với mật độ của X tại z (một tiêu chuẩn bình thường pdf φ ) cho mật độ xác suất của thứ hai (bên phải) dải$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Nhân đôi tài khoản này cho dải trên có thể cân bằng, cung cấp cho PDF tối đa là

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Tóm tắt lại

$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$