Sử dụng bộ lọc Kalman để áp đặt các giá trị bị thiếu trong chuỗi thời gian

Tôi quan tâm đến cách Bộ lọc Kalman có thể được sử dụng để tính các giá trị bị thiếu trong Dữ liệu chuỗi thời gian. Có phải nó cũng được áp dụng nếu một số điểm thời gian liên tiếp bị mất? Tôi không thể tìm thấy nhiều về chủ đề này. Bất kỳ giải thích, ý kiến ​​và liên kết đều được chào đón và đánh giá cao!

Sơ bộ: Lọc Kalman :

Các bộ lọc Kalman hoạt động trên các mô hình không gian trạng thái của biểu mẫu (có một số cách để viết nó; đây là một cách dễ dàng dựa trên Durbin và Koopman (2012) ; tất cả những điều sau đây đều dựa trên cuốn sách đó, rất tuyệt vời):

$$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$$

trong đó là chuỗi được quan sát (có thể có các giá trị bị thiếu) nhưng hoàn toàn không quan sát được. Phương trình đầu tiên (phương trình "đo lường") nói rằng dữ liệu quan sát được liên quan đến các trạng thái không quan sát theo một cách cụ thể. Phương trình thứ hai (phương trình "chuyển tiếp") nói rằng các trạng thái không quan sát được phát triển theo thời gian theo một cách cụ thể.$y_t$$\alpha_t$

Bộ lọc Kalman hoạt động để tìm các ước tính tối ưu của ( được giả sử là Bình thường: , do đó, bộ lọc Kalman thực sự làm gì để tính giá trị trung bình và phương sai của phân phối cho điều kiện quan sát đến thời điểm ).$\alpha_t$$\alpha_t$$\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$$\alpha_t$$t$

Trong trường hợp điển hình (khi có sẵn các quan sát), bộ lọc Kalman sử dụng ước tính trạng thái hiện tại và quan sát hiện tại để làm tốt nhất có thể để ước tính trạng thái tiếp theo , như sau:$y_t$$\alpha_{t+1}$

$$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$$

Trong đó là "Kalman gain".$K_t$

Khi không có quan sát, bộ lọc Kalman vẫn muốn tính và theo cách tốt nhất có thể. Vì không có sẵn, nó không thể sử dụng phương trình đo, nhưng nó vẫn có thể sử dụng phương trình chuyển tiếp . Do đó, khi bị thiếu, bộ lọc Kalman thay vào đó sẽ tính toán:$a_{t+1}$$P_{t+1}$$y_t$$y_t$

$$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$$

Về cơ bản, nó nói rằng đã cho , dự đoán tốt nhất của tôi về mà không có dữ liệu chỉ là sự tiến hóa được chỉ định trong phương trình chuyển đổi. Điều này có thể được thực hiện cho bất kỳ số lượng khoảng thời gian với dữ liệu bị thiếu.α t + $\alpha_t$$\alpha_{t+1}$

Nếu có là dữ liệu , sau đó tập đầu tiên của phương trình lọc lấy đoán tốt nhất không có dữ liệu, và thêm một "chỉnh" trong, dựa trên dự đoán trước đây là như thế nào tốt.$y_t$

---

Nhập dữ liệu :

Khi bộ lọc Kalman đã được áp dụng cho toàn bộ phạm vi thời gian, bạn có ước tính tối ưu của các bang cho . Nhập dữ liệu sau đó đơn giản thông qua các phương trình đo. Cụ thể, bạn chỉ cần tính toán: t = 1 , 2 , ... , $a_t, P_t$$t = 1, 2, \dots, T$

$$\hat y_t = Z a_t$$

---

Về phần tham khảo, Durbin và Koopman (2012) là tuyệt vời; phần 4.10 thảo luận về các quan sát còn thiếu.

• Durbin, J., & Koopman, SJ (2012). Phân tích chuỗi thời gian bằng phương pháp không gian trạng thái (số 38). Nhà xuất bản Đại học Oxford.

Ví dụ trong bài đăng mà javlacalle chỉ ra trong nhận xét của họ có các điểm thời gian bị thiếu liên tiếp. Bạn cũng có thể quan tâm đến các khoảng xung quanh các giá trị được dự đoán (trong mẫu được dự báo), phép tính xuất hiện trong bài viết Không gian trạng thái này , trong phần 2.1.

Một bài báo khác có thể thú vị là bài này .