Chứng minh phương sai của sự khác biệt của hai biến phụ thuộc là gì?

Tôi biết rằng phương sai của sự khác biệt của hai biến độc lập là tổng phương sai và tôi có thể chứng minh điều đó. Tôi muốn biết hiệp phương sai đi đâu trong trường hợp khác.

Khi và là các biến phụ thuộc với hiệp phương sai , sau đó phương sai của sự khác biệt của họ được đưa ra bởi này được đề cập trong số các thuộc tính cơ bản của phương sai trên http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . Nếu và xảy ra không tương quan (đó là một trường hợp khi chúng độc lập), thì hiệp phương sai của chúng bằng 0 và chúng ta có Y C o v [ X , Y ] = E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] V a r [ X - Y ] = V a r [ X ] + V a r [ Y ] - 2 C o v [ X , $X$$Y$$\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$X Y V a r [ X - Y ] = V a r [ X ] + V a r [ Y

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ $X$$Y$ $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

Đặt và Y là hai biến ngẫu nhiên. Chúng tôi muốn chỉ ra rằng V a r [ X - Y ] = V a r [ X ] + V a r [ Y ] - 2 × C o v [ X , Y ] .$X$$Y$$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Hãy xác định , vì vậy ta có: V a r [ X - Y ] = V a r [ X + Z ] = V a r [ X ] + V a r [ Z ] + 2 × C o v [ X , Z ] .$Z:=-Y$$Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

, vì V a r [ α Y ] = α 2 V a r [ Y $Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$$Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Ta cũng có , vì C o v ( X , β Y ) = β C o v ( X , Y $Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$ .$Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Đặt tất cả các mảnh lại với nhau, ta có .$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$