Làm thế nào để tạo ma trận trực giao ngẫu nhiên đồng nhất của xác định dương?

Có lẽ tôi đã có một câu hỏi ngớ ngẩn về điều đó, tôi phải thú nhận, tôi bối rối. Tưởng tượng việc lặp đi lặp lại tạo ra ma trận trực giao ngẫu nhiên (trực giao) phân bố đồng đều có kích thước . Đôi khi ma trận được tạo ra có định thức và đôi khi nó có định thức . (Chỉ có hai giá trị có thể. Từ quan điểm của phép quay trực giao có nghĩa là cũng có một phản xạ bổ sung bên cạnh phép quay.) $p$ $1$ $-1$ $\det=-1$

Chúng ta có thể thay đổi dấu $\det$ của ma trận trực giao từ dấu trừ thành dấu cộng bằng cách thay đổi dấu của bất kỳ một cột nào (hoặc, nói chung hơn, bất kỳ số lẻ) nào của cột đó.

Câu hỏi của tôi là: cho rằng chúng ta tạo ra các ma trận ngẫu nhiên như vậy nhiều lần, chúng ta sẽ đưa ra một số sai lệch trong bản chất ngẫu nhiên thống nhất của chúng nếu mỗi lần chúng ta chọn hoàn nguyên dấu hiệu của chỉ một cột cụ thể (giả sử, luôn luôn là số 1 hoặc luôn luôn tồn tại)? Hoặc chúng ta nên có để chọn cột một cách ngẫu nhiên để duy trì các ma trận đại diện cho bộ sưu tập ngẫu nhiên phân bố đều?

— ttnphns
nguồn

Việc lựa chọn cột không thành vấn đề: phân phối kết quả trên các ma trận trực giao đặc biệt, $SO(n)$ , vẫn đồng nhất.

Tôi sẽ giải thích điều này bằng cách sử dụng một đối số mở rộng, theo cách rõ ràng, cho nhiều câu hỏi liên quan về việc tạo ra các yếu tố đồng nhất của các nhóm. Mỗi bước của đối số này là tầm thường, không yêu cầu gì nhiều hơn tham chiếu đến các định nghĩa phù hợp hoặc một phép tính đơn giản (chẳng hạn như lưu ý rằng ma trận là trực giao và tự đảo ngược). $\mathbb{I}_1$

Đối số là một khái quát của một tình huống quen thuộc. Xem xét nhiệm vụ vẽ các số thực dương theo phân phối liên tục đã chỉ định . Điều này có thể được thực hiện bằng cách rút ra bất kỳ số thực nào từ phân phối liên tục và phủ định kết quả, nếu cần, để đảm bảo giá trị dương (gần như chắc chắn). Để quá trình này có phân phối , phải có thuộc tính $F$ $G$ $F$ $G$

G (x) - G (- x) = F (x) .

$G(x) - G(-x) = F(x).$

Cách đơn giản nhất để thực hiện điều này là khi đối xứng quanh sao cho , kéo theo : tất cả xác suất dương mật độ đơn giản là tăng gấp đôi và tất cả các kết quả tiêu cực được loại bỏ. Mối quan hệ quen thuộc giữa phân phối nửa bình thường ( ) và phân phối bình thường ( ) là loại này. $G$ $0$ $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$ $F(x) = 2G(x) - 1$ $F$ $G$

Sau đây, nhóm đóng vai trò của các số thực khác không (được coi là một nhóm nhân ) và nhóm phụ đóng vai trò của các số thực dương . Thước đo Haar là bất biến dưới phủ định, do đó, khi nó được "gấp lại" từ thành , phân phối của các giá trị dương không thay đổi . (Rất tiếc, biện pháp này không thể được chuẩn hóa thành thước đo xác suất - nhưng đó là cách duy nhất để sự tương tự bị phá vỡ.) $O(n)$ $SO(n)$ $\mathbb{R}_{+}$ $dx/x$ $\mathbb{R}-\{0\}$ $\mathbb{R}_{+}$

Phủ định một cột cụ thể của ma trận trực giao (khi xác định của nó là âm) là tương tự phủ định một số thực âm để xếp nó vào nhóm con dương. Tổng quát hơn, bạn có thể chọn trước bất kỳ ma trận trực giao của định thức phủ định và sử dụng nó thay vì : kết quả sẽ giống nhau. $\mathbb{J}$ $\mathbb{I}_1$

Mặc dù câu hỏi được đặt ra theo cách tạo ra các biến ngẫu nhiên, nó thực sự hỏi về phân phối xác suất trên các nhóm ma trận và . Sự kết nối giữa các nhóm này được mô tả theo thuật ngữ của ma trận trực giao $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$ $SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

I_{1} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$

bởi vì phủ định cột đầu tiên của ma trận trực giao có nghĩa là nhân đúng bởi . Lưu ý rằng và là liên hiệp rời rạc $\mathbb X$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{I}_1$ $SO(n)\subset O(n)$ $O(n)$

O (n) = S O (n) \cup S O (n) I_{1}^{- 1} .

$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$

Cho một không gian xác suất được xác định trên , quy trình được mô tả trong câu hỏi xác định bản đồ $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$ $O(n)$

f : O (n) \to S O (n)

$f:O(n)\to SO(n)$

bằng cách thiết lập

f (X) = X

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$

khi và $\mathbb{X}\in SO(n)$

f (X) = X I_{1}

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$

cho . $\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Câu hỏi liên quan đến việc tạo các phần tử ngẫu nhiên trong bằng cách lấy các phần tử ngẫu nhiên : nghĩa là bằng cách "đẩy chúng về phía trước" thông qua để tạo ra . Việc đẩy về phía trước tạo ra một không gian xác suất với $SO(n)$ $\omega\in O(n)$ $f$ $f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$ $(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

S^{'} = f_{*} S = {f (E) | E \subset S}

$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$

và

P^{'} (E) = (f_{*} P) (E) = P (f^{- 1} (E)) = P (E \cup E I_{1})

$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$

cho tất cả . $E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Giả sử phép nhân đúng bằng là bảo toàn số đo và lưu ý rằng trong mọi trường hợp , nó sẽ theo ngay lập tức rằng với tất cả , $\mathbb{I}_1$ $E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$ $E\in\mathfrak{S}^\prime$

P^{'} (E) = P (E \cup E I_{1}^{- 1}) = P (E) + P (E I_{1}^{- 1}) = 2 P (E) .

$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$

Cụ thể, khi là bất biến dưới phép nhân phải trong (nghĩa là "đồng phục" thường có nghĩa là gì), thực tế rõ ràng là và nghịch đảo của nó (xảy ra bằng chính nó) đều là trực giao có nghĩa là các khoản giữ ở trên, chứng minh rằng cũng đồng nhất. Do đó, không cần thiết phải chọn một cột ngẫu nhiên để phủ định. $\mathbb{P}$ $O(n)$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{P}^\prime$

— whuber
nguồn

+1. Đây là một bài viết rất hay, cảm ơn vì đã đăng câu trả lời này.

— amip

Một câu trả lời tuyệt vời. Nhưng bắt đầu từ The question is concerned about generatingtôi thấy khó khăn đẩy tôi về phía trước thông qua biểu tượng. Bạn có thể tóm tắt lý do bằng lời , cho một giáo dân sớm hơn, xin vui lòng?

— ttnphns 30/03/2015