Phương sai của thống kê

Cohen's là một trong những cách phổ biến nhất mà chúng tôi đo kích thước của hiệu ứng ( xem Wikipedia ). Nó chỉ đơn giản là đo khoảng cách giữa hai phương tiện theo độ lệch chuẩn gộp. Làm thế nào chúng ta có thể rút ra công thức toán học ước tính phương sai của Cohen ? $d$$d$

Chỉnh sửa tháng 12 năm 2015: Liên quan đến câu hỏi này là ý tưởng tính khoảng tin cậy xung quanh . Bài viết này nói rằng$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

Trong đó là tổng của hai cỡ mẫu và là sản phẩm của hai cỡ mẫu. n $n_{+}$$n_{\times}$

Công thức này có nguồn gốc như thế nào?

Lưu ý rằng biểu thức phương sai trong câu hỏi là một xấp xỉ. Hedges (1981) đã đưa ra phương sai mẫu lớn của $d$ và xấp xỉ trong một thiết lập chung (nghĩa là nhiều thí nghiệm / nghiên cứu), và câu trả lời của tôi khá nhiều khi đi qua các dẫn xuất trong bài báo.

Đầu tiên, các giả định chúng ta sẽ sử dụng như sau:

Giả sử chúng ta có hai nhóm điều trị độc lập là (điều trị) và C (đối chứng). Hãy Y T i và Y C j là điểm / phản ứng / bất cứ điều gì từ đối tượng i trong nhóm T và chủ đề j trong nhóm C , tương ứng.$T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Chúng tôi giả định rằng các phản ứng thường được phân phối và các nhóm điều trị và kiểm soát có chung một phương sai, nghĩa là

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

Kích thước ảnh hưởng chúng ta đang quan tâm đến việc lập dự toán trong mỗi nghiên cứu là . Ước tính kích thước hiệu lực thi hành, chúng tôi sẽ sử dụng được d= ˉ Y T- ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ trong đóS2klà phương sai mẫu không thiên vị cho nhómk.

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

Hãy xem xét các thuộc tính mẫu lớn của . $d$

Đầu tiên, lưu ý rằng: và (lỏng lẻo với ký hiệu của tôi): ( n T - 1 ) S 2

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ và (nC-1)S 2 $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

Phương trình (1) và (2) dẫn đến thực tế là (một lần nữa, lỏng lẻo với ký hiệu của tôi):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ where $\theta \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^2_{\nu}$, and $\nu = n_T+n_C-2$. Thus, $d$ is $\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$ times a variable which follows a non-central t-distribution with $n_T + n_C - 2$ degrees of freedom and non-centrality parameter of $\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$.

Using the moment properties of the non-central $t$ distribution, it follows that:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ where $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

So Equation (3) provides the exact large sample variance. Note that an unbiased estimator for $\delta$ is $b d$, with variance:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

For large degrees of freedom (i.e. large $n_T+n_C-2$), the variance of a non-central $t$ variate with $\nu$ degrees of freedom and non-centrality parameter $p$ can be approximated by $1 + \frac{p^2}{2\nu}$ (Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995). Thus, we have:

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

Plug in our estimator for $\delta$ and we're done.