PDF của một tổng số các biến phụ thuộc

Đây là một tiếp tục trực tiếp của câu hỏi gần đây của tôi . Điều mà tôi thực sự muốn nhận được là sự phân bố của $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ , trong đó$a,b,c,d$đồng nhất trong$[0,1]$. Bây giờ, phân phối của$(a-d)^2+4bc$đã được tính toán thành công trongluồngđã đề cậpvà hãy gọi nó là$h(x)$. Sự phân bố của$\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ chỉ đơn giản là$h(x^2)\cdot 2x$. Bước cuối cùng sẽ được tính toán sự phân bố của tổng của$X=a+d$và$Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ theo cách tương tự nhưtrước đây, nhưng$X$và$Y$không độc lập, và bây giờ tôi bị mắc kẹt và thậm chí không biết bắt đầu từ đâu.

Nó có thể hữu ích cần lưu ý rằng và trong phần sau, các thành phần dưới gốc (nghĩa làX2=(a+d)2vàW=-4(ad-bc)) Dễ tính. Sau đó, tôi quan tâm đến sự phân bố củaX+$\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$$X^2=(a+d)^2$$W=-4(ad-bc)$ , biết rằng các bản phân phối củaXvà$X+\sqrt{X^2+W}$$X$ .$\sqrt{X^2+W}$

Tôi không thấy bất kỳ thay đổi hữu ích của các biến. Tôi nghĩ về việc sử dụng khả năng có điều kiện, nhưng làm thế nào tôi có thể tìm ? Tôi có thể đi trước quá nhiều và có thể phải lùi lại vài bước.$f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

Thậm chí có thể tính toán một cái gì đó như thế này?

Phân phối kết quả sẽ trông như thế này:

EDIT: Câu trả lời được chấp nhận đưa ra giải pháp mà tôi đang tìm kiếm, tuy nhiên, tôi vẫn tò mò làm thế nào để tìm ra nó một cách phân tích. Ý tôi là, trong câu hỏi trước đây của tôi , CDF đã được đưa ra như một phần không thể thiếu:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

với và g được cho bởi các hàm đơn giản. Về mặt lý thuyết, điều đó có thể được tích hợp bằng bút và giấy. Tất nhiên sử dụng phần mềm là tự nhiên. Tuy nhiên, tôi vẫn tò mò làm thế nào để đưa ra một câu trả lời dạng đóng ở đây. Người sói trả lời rung chuông, nhưng ... Một tổ hợp gồm ba pdf có chức năng (tương đối) phức tạp như vậy?$F$$g$

Tìm pdf của: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$Trong đó là iid U n i f o r m ( 0 , 1 $A,B,C,D$$Uniform(0,1)$

Đặt , trong đó U có pdf: $U = 4 BC$$U$ .$\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$

Điều này làm giảm vấn đề từ 4 xuống 3 biến ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, bằng sự độc lập, pdf chung của là f ( a , d , u ) :$(A,D,U)$$f(a,d,u)$

Hãy . Cdf củaZlàP(Z<z):$Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$$Z$$P(Z<z)$

nơi mà tôi đang sử dụng các Probchức năng từ mathStatica gói cho Mathematica để tự động hóa các-nitty gritties.

$Z$$z$

Tất cả đã được làm xong.

$Z$

Kiểm tra Monte Carlo

Sơ đồ sau đây so sánh một xấp xỉ theo kinh nghiệm của Monte Carlo của pdf (màu xanh nguệch ngoạc) với pdf lý thuyết xuất phát ở trên (màu đỏ nét đứt). Có vẻ ổn.

Ngay sau khi đọc câu trả lời của người sói, tôi hiểu rằng tôi có thể tính toán phân phối cuối cùng ngay từ đầu mà không cần tất cả các bước giữa:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] cung cấp cho CDF và

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] cung cấp cho PDF hoạt động hoàn hảo với mô phỏng của tôi:

Điều này sử dụng trực tiếp cách tiếp cận của một câu trả lời cho câu hỏi trước đây của tôi.