Làm thế nào để bạn tính toán các lỗi tiêu chuẩn cho một chuyển đổi của MLE?

Tôi cần suy luận về một tham số dương . Để làm rõ tính tích cực, tôi đã lặp lại . Sử dụng thường trình MLE tôi tính toán ước tính điểm và se cho . Thuộc tính bất biến của MLE trực tiếp cho tôi ước tính điểm cho , nhưng tôi không chắc cách tính se cho . Cảm ơn trước cho bất kỳ đề nghị hoặc tham khảo. $p$ $p=\exp(q)$ $q$ $p$ $p$

maximum-likelihood standard-error delta-method

— Marcel
nguồn

Bạn có thể sử dụng cùng một thói quen MLE để tính toán ước tính điểm và se cho trực tiếp không?

p

$p$

— whuber

Các phương pháp Delta được sử dụng cho mục đích này. Theo một số giả định về tính đều đặn tiêu chuẩn , chúng tôi biết MLE, cho xấp xỉ (tức là không có triệu chứng) được phân phối dưới dạng $\hat{\theta}$ $\theta$

\hat{θ} \sim N (θ, I^{- 1} (θ))

$\hat{\theta} \sim N(\theta, \mathcal{I}^{-1}(\theta))$

trong đó là nghịch đảo của thông tin Fisher cho toàn bộ mẫu, được đánh giá tại và biểu thị phân phối chuẩn với trung bình và phương sai . Tính bất biến chức năng của MLE nói rằng MLE của , trong đó là một số hàm đã biết, là (như bạn đã chỉ ra) và có phân phối gần đúng $\mathcal{I}^{-1}(\theta)$ $\theta$ $N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu$ $\sigma^{2}$ $g(\theta)$ $g$ $g(\hat{\theta})$

g (\hat{θ}) \sim N (g (θ), I^{- 1} (θ) [g^{'} (θ)]^{2})

$g(\hat{\theta}) \sim N( g(\theta), \mathcal{I}^{-1}(\theta) [g'(\theta)]^{2} )$

nơi bạn có thể cắm các công cụ ước tính nhất quán cho các đại lượng chưa biết (nghĩa là cắm trong đó xuất hiện trong phương sai). Tôi sẽ giả sử các lỗi tiêu chuẩn bạn có dựa trên thông tin Fisher (vì bạn có MLE). Biểu thị rằng lỗi tiêu chuẩn của . Sau đó, lỗi tiêu chuẩn của , như trong ví dụ của bạn, là $\hat{\theta}$ $\theta$ $s$ $e^{\hat{\theta} }$

\sqrt{s^{2} e^{2 \hat{θ}}}

$\sqrt{s^{2}e^{2 \hat{\theta}}}$

Tôi có thể giải thích bạn ngược và trong thực tế, bạn có phương sai của MLE của và muốn phương sai của MLE của trong trường hợp đó là tiêu chuẩn $\theta$ $\log(\theta)$

\sqrt{s^{2} / {\hat{θ}}^{2}}

$\sqrt{ s^{2}/\hat{\theta}^{2} }$

— Vĩ mô
nguồn

Chỉ cần một lưu ý phụ: cũng có các phần mở rộng đa biến thích hợp, theo đó các đạo hàm được thay thế bằng độ dốc và phép nhân phải là phép nhân ma trận, do đó, có một chút đau đầu hơn trong việc tìm ra nơi chuyển đổi.

— StasK

Cảm ơn đã chỉ ra rằng StasK. Tôi tin vào trường hợp đa biến, hiệp phương sai tiệm cận của là

g (\hat{θ})

$g(\hat{\theta})$

\nabla g (θ)^{'} I (θ)^{- 1} \nabla g (θ)

$\nabla g(\theta)' \mathcal{I}(\theta)^{-1} \nabla g(\theta)$

— Macro

(+1) Tôi đã thêm một liên kết đến các giả định về tính đều đặn (và một số thứ khác) vì không rõ liệu những điều này có được thỏa mãn trong vấn đề của OP hay không. Tôi có thể nói rằng là tiệm bình thường và không có khoảng bình thường, vì tỷ lệ hội tụ có thể được làm chậm vào những thời điểm.

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

— MånsT

Cảm ơn bạn @ MånsT, tôi cũng đã làm rõ rằng tôi có nghĩa là không có triệu chứng khi tôi nói khoảng :)

— Macro

$p$ $\hat{p}$ $[q_1, q_2]$ $q$ $[\exp(q_1), \exp(q_2)]$ $p$ $q$ $p$

— NRH
nguồn