Tạo các biến ngẫu nhiên nhị thức với tương quan đã cho

Giả sử tôi biết cách tạo Biến ngẫu nhiên nhị thức độc lập. Làm cách nào tôi có thể tạo hai biến ngẫu nhiên và sao cho $X$ $Y$
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

Tôi đã nghĩ đến việc cố gắng sử dụng thực tế rằng và là độc lập trong đó nhưng tôi không nghĩ rằng được phân phối nhị phân nên tôi không thể sử dụng phương pháp này. Nếu điều này đã hoạt động thì tôi đã tạo ra hai biến ngẫu nhiên Binomial, giả sử và , sau đó đặt và tức là và do đó tôi sẽ có được cặp . Nhưng tôi không thể làm điều này vì không được phân phối nhị phân. $X$ $Y-\rho X$ $\rho=Corr(X,Y)$ $X-\rho Y$ $A$ $B$ $X=A$ $Y-\rho X=B$ $Y=B+\rho A$ $(X,Y)$ $Y-\rho X$

Bất kỳ gợi ý sẽ được đánh giá cao về cách tiến hành.

— Landon Carter
nguồn

Trên thực tế, vấn đề này xuất hiện trong một bài kiểm tra học kỳ, vì vậy nó không phải là Bài tập về nhà, nhưng bạn có thể gọi nó là tự học. Đã thêm thẻ.

— Landon Carter

Bạn không thể sử dụng biểu diễn tuyến tính của mối tương quan trong các bản phân phối hỗ trợ riêng biệt.

Trong trường hợp đặc biệt của phân phối Binomial, biểu diễn có thể được khai thác vì Nếu chúng tôi chọn một số bằng với một số và được tạo độc lập bằng cách khác, chúng tôi có được trong đó ký hiệu chỉ ra rằng được chọn giống hệt với thay vì được tạo dưới dạng Bernoulli

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ .

Vì ràng buộc là chúng tôi phải giải quyết Điều này có nghĩa là nếu chúng ta chọn 6 trong số 8 bằng 6 trong số 18 , chúng ta sẽ có được mối tương quan này là 0,5.

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

Việc thực hiện như sau:

Tạo , , ; $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$
Lấy và $X=Z+Z_1$ $Y=Z+Y_1$

Chúng ta có thể kiểm tra kết quả này với một mô phỏng R

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Bình luận

Đây là một giải pháp khá giả tạo cho vấn đề ở chỗ nó chỉ hoạt động vì là một hình vuông hoàn hảo và vì là một số nguyên. Đối với các mối tương quan có thể chấp nhận khác, ngẫu nhiên sẽ là cần thiết, tức là sẽ bằng 0 hoặc một với xác suất . $8\times 18$ $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ $\varrho$

Phụ lục

Vấn đề đã được đề xuất và giải quyết nhiều năm trước trên Stack Overflow với cùng ý tưởng chia sẻ Bernoullis.

— Tây An
nguồn

+1. You don't need that

8 \times 18

$8\times 18$ be a square. The conditions for Cor

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$ to have a solution (via this method) for

X \sim

$X\sim$ Binomial

(n, p)

$(n,p)$ and

Y \sim

$Y\sim$ Binomial

(m, q)

$(m,q)$ are (1)

p = q

$p=q$ and (2)

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$ is an integer. For certain negative

ρ

$\rho$ , using a Multinomial distribution gives a solution. A more general--but more difficult approach--would use copulas.

— whuber

@whuber: đối với mối tương quan tiêu cực, lần đầu tiên tôi nghĩ đến việc sử dụng nhưng rõ ràng nó không hoạt động. Bạn có thể mở rộng về giải pháp chung? (Tôi cũng đã nghĩ đến các công thức, nhưng việc hiệu chỉnh các công thức để đạt được mối tương quan đúng là một công việc khó chịu, phải không?!

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$

— Tây An

Xi'an, tôi muốn hỏi bạn liệu phương pháp bạn sử dụng có phải là một phương pháp tiêu chuẩn không. Điều này là do tôi đã tìm kiếm rất nhiều trên internet và không thể tìm thấy bất cứ điều gì.

— Landon Carter

Tôi đồng ý với bạn - Tôi không muốn làm việc với những công thức đó! Nhưng ít nhất họ cho thấy các giải pháp phải tồn tại (trong một số giới hạn nhất định trên , phụ thuộc vào các tham số khác) trong cài đặt chung nhất. Sẽ rất thú vị khi tìm hiểu xem các công trình đơn giản hơn, như công trình bạn đưa ra ở đây, có thể được đưa ra để xử lý các trường hợp trong đó hoặc . Yedaynara: phương pháp tách hai biến thành là tiêu chuẩn cho bất kỳ họ tham số nào được đóng dưới bổ sung; và đó là tất cả những gì đang diễn ra ở đây.

ρ

$\rho$

p \neq q

$p\ne q$

ρ < 0

$\rho \lt 0$

X, Y

$X,Y$

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$

— whuber

@yedaynara: Tôi ngạc nhiên khi bạn không thể tìm thấy "bất cứ thứ gì" khi tôi tìm hiểu "mô phỏng Binomial tương quan" và tìm thấy ngay bài đăng này trên Stack Overflow .

— Tây An