Mối quan hệ giữa tổng của Gaussian RV và Gaussian Mixture

Tôi biết rằng một tổng số Gaussian là Gaussian. Vì vậy, một hỗn hợp Gaussian khác nhau như thế nào?

Ý tôi là, một hỗn hợp Gaussian chỉ là một tổng số Gaussian (trong đó mỗi Gaussian được nhân với hệ số trộn tương ứng) phải không?

Một tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên Gaussian p Σ i = 1 β i X i là một biến ngẫu nhiên Gaussian : nếu ( X 1 , ... , X p ) ~ N p ( μ , Σ ) sau đó β T ( X 1 , ... , X p ) ~ N 1 ( $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[Nguồn: Marin và Robert, Bayesian Core , 2007]

$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

Và đây là một số mã R để bổ sung cho câu trả lời @ Xi'an:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

Phân phối tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập là tích chập phân phối của chúng. Như bạn đã lưu ý, tích chập của hai Gaussian xảy ra là Gaussian.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$