Làm thế nào để tính khoảng dự đoán cho hồi quy bội OLS?

Ký hiệu đại số để tính khoảng dự đoán cho hồi quy bội là gì?

Nghe có vẻ ngớ ngẩn, nhưng tôi gặp khó khăn khi tìm một ký hiệu đại số rõ ràng về điều này.

Lấy mô hình hồi quy với quan sát và hồi quy: $N$$k$

$$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$$

Đưa ra một vectơ , giá trị dự đoán cho quan sát đó sẽ là Công cụ ước tính nhất quán về phương sai của dự đoán này là \ hat V_p = s ^ 2 \ cdot \ mathbf {x_0} \ cdot (\ mathbf {X'X}) ^ {- 1} \ mathbf {x'_0}, trong đó s ^ 2 = \ frac {\ Sigma_ {i = 1} ^ {N} \ mũ u_i ^ 2} {Nk}. Lỗi dự báo cho một y_0 cụ thể là \ hat e = y_0- \ hat y_0 = \ mathbf {x_0} \ beta + u_0- \ hat y_0. Hiệp phương sai bằng không giữa u_0 và \ hat \ beta ngụ ý rằng \ Var [\ hat e] = \ Var [\ hat y_0] + \ Var [u_0] và một công cụ ước tính nhất quán về điều đó là $\mathbf{x_0}$

$$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$$ $$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$$ $$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$$ $y_0$ $$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$$ $u_0$$\hat \beta$ $$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$$ $$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$$

Các $1-\alpha$ $\rm confidence$ khoảng thời gian sẽ là:

$$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$$ Các $1-\alpha$ $\rm prediction$ khoảng thời gian sẽ rộng hơn: $$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$$