Là hiệp phương sai của các biến được tiêu chuẩn hóa có tương quan không?

Tôi có một câu hỏi cơ bản. Nói rằng tôi có hai biến ngẫu nhiên, và . Tôi có thể tiêu chuẩn hóa chúng bằng cách trừ giá trị trung bình và chia cho độ lệch chuẩn, nghĩa là, $X$ $Y$ . $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Là mối tương quan của và , , giống như hiệp phương sai của các phiên bản tiêu chuẩn của và ? Đó là, là $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ ? $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
nguồn

Đúng.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Rupant Rupani
nguồn

Gì???? Bên phải của phương trình đầu tiên của bạn là một biến ngẫu nhiên trong khi bên trái là một hằng số.

— Dilip Sarwate

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

i

$i$

Bạn đang dùng SD (X) và SD (Y) ngoài mong đợi. Giải thích lý do của bước này một chút nữa xin vui lòng.

— Erdogan CEVHER

Các hằng số @Erdogan có thể được đưa ra ngoài hàm Expected () mà không thay đổi.

— Hemant Rupani