Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên khi tung đồng xu

Đã đến một vấn đề thú vị ngày hôm nay. Bạn được tặng một đồng xu và x tiền, bạn nhân đôi số tiền nếu bạn nhận được đầu và mất một nửa nếu đuôi trên bất kỳ lần ném nào.

1. Giá trị kỳ vọng của số tiền của bạn trong n lần thử là bao nhiêu
2. Xác suất nhận được nhiều hơn giá trị mong đợi trong (1) là bao nhiêu

Đây là cách tôi tiếp cận nó. Xác suất của đầu và đuôi là như nhau (1/2). Giá trị kỳ vọng sau khi tung đầu tiên = $1/2(2*x) + 1/2(1/2*x) = 5x/4$ giá trị Vì vậy, dự kiến là $5x/4$ sau khi tung đầu tiên. Tương tự như vậy lặp đi lặp lại thứ hai quăng kỳ vọng trên 5x / 4, giá trị dự kiến sau khi tung giây = $1/2(2*5x/4) + 1/2(1/2*5x/4) = 25x/16$

Vì vậy, bạn nhận được một chuỗi các giá trị mong đợi: $5x/4$ , $25x/16$ , $125x/64$ , ...

Sau $n$ lần thử, giá trị kỳ vọng của bạn nên được $(5^n/4^n) * x$ .

Nếu $n$ đủ lớn, giá trị mong đợi của bạn sẽ tiếp cận giá trị trung bình của phân phối. Vì vậy, xác suất giá trị đó lớn hơn giá trị mong đợi nên là $0.5$ . Tôi không chắc chắn về điều này.

Nếu n đủ lớn, giá trị mong đợi của bạn sẽ tiếp cận giá trị trung bình của phân phối.

Vâng đúng rồi.

Vì vậy, xác suất giá trị đó lớn hơn giá trị mong đợi nên là 0,5.

$n$

$\pm 1$$p$$p=0.5$$x$

x*2^{-2} = -2
x*2^{-1} = -1 
  x = 0
 x*2 = 1  

$2^k x=k$$S_n$$n$

Khi không phải là bội của 2, thì . Để hiểu điều này, giả sử rằng chúng tôi bắt đầu với £ 10. Sau lượt, các giá trị duy nhất có thể là £ 5 hoặc £ 20, tức là hoặc .$(n+k)$$Pr(S_n)=0$$n=1$$k=-1$$k=1$

Kết quả trên là kết quả tiêu chuẩn từ Đi bộ ngẫu nhiên. Google đi bộ ngẫu nhiên để biết thêm. Cũng từ lý thuyết đi bộ ngẫu nhiên, chúng ta có thể tính lợi nhuận trung bình là , không giống với giá trị mong đợi.$x$

Lưu ý: Tôi đã giả định rằng bạn luôn có thể một nửa số tiền của bạn. Ví dụ: 1pence, 0.5pence, 0.25pence đều được phép. Nếu bạn loại bỏ giả định này, thì bạn có một bước đi ngẫu nhiên với một bức tường hấp thụ.

Để hoàn thiện

Đây là một mô phỏng nhanh trong R của quá trình của bạn:

#Simulate 10 throws with a starting amount of x=money=10
#n=10
simulate = function(){
  #money won/lost in a single game
  money = 10
  for(i in 1:10){
    if(runif(1) < 0.5)
      money = money/2
    else
      money = 2*money
  }
  return(money)
}

#The Money vector keeps track of all the games
#N is the number of games we play
N = 1000
Money = numeric(N)
for(i in 1:N)
  Money[i]= simulate()

mean(Money);median(Money)
#Probabilities
#Simulated
table(Money)/1000
#Exact
2^{-10}*choose(10,10/2)

#Plot the simulations
plot(Money)

Đặt là sự giàu có sau lượt chơi của trò chơi này, trong đó chúng tôi giả sử Sự cám dỗ ở đây là lấy và nghiên cứu như một bước đi ngẫu nhiên đối xứng, với sự đổi mới về kích thước . Điều này, như hóa ra, sẽ tốt cho câu hỏi thứ hai, nhưng không phải là câu hỏi đầu tiên. Một chút công việc sẽ cho thấy rằng, bất thường, chúng ta có . Từ đó, bạn không thể kết luận rằng là log không có triệu chứng thường được phân phối với$S_k$$k$$S_0 = 1.$$X_k = \log{S_k}$$X_k$$\pm \log{2}$$X_k \sim \mathcal{N}(0,k(\log{2})^2)$$S_k$$\mu = 0, \sigma = \log{2}\sqrt{k}.$Các hoạt động đăng nhập không đi lại với giới hạn. Nếu có, bạn sẽ nhận được giá trị mong đợi của là , gần như đúng, nhưng không hoàn toàn.$S_k$$\exp{(k \log{2}\log{2}/2)}$

Tuy nhiên, phương pháp này chỉ tốt khi tìm các lượng tử của và các câu hỏi khác về xác suất, như câu hỏi (2). Chúng tôi cóĐại lượng ở phía bên trái của bất đẳng thức cuối cùng là, không có triệu chứng, là một tiêu chuẩn bình thường, và do đó xác suất vượt quá mức tiếp cận trung bình của nó trong đó là CDF của tiêu chuẩn thông thường. Điều này tiếp cận bằng không khá nhanh chóng.$S_k$$S_k \ge (\frac{5}{4})^k \Leftrightarrow X_k \ge k \log{(5/4)} \Leftrightarrow X_k / \sqrt{k}\log{2} \ge \sqrt{k}\log{(5/4})/\log{2}.$$S_k$$1 - \Phi{(\sqrt{k}\log{(5/4)}/\log{2})},$$\Phi$

Mã Matlab để kiểm tra điều này:

top_k = 512;
nsamps = 8192;
innovs = log(2) * cumsum(sign(randn(top_k,nsamps)),1);
s_k = exp(innovs);
k_vals = (1:top_k)';
mean_v = (5/4) .^ k_vals;
exceed = bsxfun(@ge,s_k,mean_v);
prob_g = mean(double(exceed),2);

%theoretical value
%(can you believe matlab doesn't come with normal cdf function!?)
nrmcdf = @(x)((1 + erf(x / sqrt(2)))/2);
p_thry = 1 - nrmcdf(sqrt(k_vals) * log(5/4) / log(2));

loglog(k_vals,prob_g,'b-',k_vals,p_thry,'r-');
legend('empirical probability','theoretical probability');

đồ thị được tạo ra:

Bạn nói đúng về sự kỳ vọng.

Bạn thực sự cũng có câu trả lời đúng cho xác suất nhận được nhiều hơn số cổ phần ban đầu của bạn, mặc dù không phải là bằng chứng đúng. Hãy xem xét, thay vì số tiền thô mà bạn có, logarit cơ sở 2 của nó. Điều này hóa ra là số lần bạn đã nhân đôi số tiền của mình, trừ đi số lần bạn đã giảm một nửa số tiền đó. Đây là tổng của biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến bằng hoặc với xác suất . Xác suất mà bạn muốn là xác suất mà điều này là tích cực. Nếu là số lẻ thì đối xứng chính xác là ; nếu chẵn (gọi là ) thì là$S_n$$n$$+1$$-1$$1/2$$n$$1/2$$n$$2k$$1/2$trừ đi một nửa xác suất mà . Nhưng , tiếp cận là .$S_n = 0$$P(S_{2k} = 0) = {2k \choose k}/2^{2k}$$0$$k \to \infty$