Tài liệu tham khảo: Đuôi cdf nghịch đảo

Tôi gần như chắc chắn rằng tôi đã thấy kết quả sau đây trong thống kê nhưng tôi không thể nhớ nơi nào.

Nếu là biến ngẫu nhiên dương và thì khi , trong đó là lũy của . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Điều này dễ dàng nhận thấy về mặt hình học bằng cách sử dụng đẳng thức và bằng cách xem xét cắt ngang tại của khu vực dưới đường cong của tích phân . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Bạn có biết một tài liệu tham khảo cho kết quả này và liệu nó có một tên?

— Stéphane Laurent
nguồn

"Tổng quát hơn" là một ứng dụng đơn giản của tích hợp bởi các bộ phận. Điều đó hiếm khi cần một tài liệu tham khảo!

— whuber

@whuber Tôi cũng đang yêu cầu tham khảo về kết quả đầu tiên.

— Stéphane Laurent

Bạn có thể đã nhìn thấy nó, hoặc ít nhất là một cái gì đó rất giống nó, tại stats.stackexchange.com/questions/18438 . Kết quả đó là do sự thay thế trong tích phân, một lần nữa rất cơ bản, người ta sẽ không mong đợi nó sẽ được đặc biệt lưu ý trong tài liệu hoặc được đặt một số tên đặc biệt.

— whuber

@whuber Tôi không thấy

trong liên kết của bạn. Hơn nữa kết quả tôi đề cập là đúng đối với một rời rạc

quá (bằng cách lấy

trở thành một chuỗi và thay thế

với

trong báo cáo kết quả tổng quát hơn). Kết quả đầu tiên thậm chí đúng với một

chung , tôi nghĩ vậy.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

Tôi tin rằng điều này có thể được sử dụng mà không có bất kỳ tài liệu tham khảo nào miễn là nó được nêu trong các thuật ngữ cổ điển hơn. Nói một cách đơn giản, đây là:

cho

với

, một hậu quả trực tiếp của:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

và hội tụ thống trị. Một công việc nhỏ là cần thiết để có được câu lệnh cho nghịch đảo (trái liên tục)

trong trường hợp chung trong đó

có thể có các bước.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves

Để xử lý "công việc nhỏ" được đề xuất bởi Yves trong các bình luận, hình học cho thấy một bằng chứng chặt chẽ và đầy đủ chung.

Nếu bạn thích, bạn có thể thay thế tất cả các tham chiếu đến các khu vực bằng tích phân và tham chiếu đến "tùy ý" bằng các đối số epsilon-delta thông thường. Bản dịch rất dễ.

Để thiết lập hình ảnh, hãy để là chức năng sinh tồn $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

Con số này âm mưu một phần của . (. Chú ý khi nhảy trong biểu đồ: phân phối đặc biệt này là không liên tục) Ngưỡng lớn được hiển thị và một xác suất nhỏ đã được chọn (do đó ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Chúng tôi đã sẵn sàng để đi: giá trị chúng ta trong tâm đang, (một trong những chúng tôi muốn thể hiện hội tụ bằng không), là khu vực của màu trắng hình chữ nhật với chiều cao và cơ sở từ đến . Chúng ta hãy liên hệ khu vực này với kỳ vọng của , bởi vì giả định duy nhất có sẵn cho chúng ta là kỳ vọng này tồn tại và là hữu hạn. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Tích cực phần ứng được kỳ vọng là diện tích dưới đường cong sống sót (từ đến ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Vì phải là hữu hạn (vì nếu không, chính sự kỳ vọng sẽ không tồn tại và là hữu hạn), chúng tôi có thể chọn lớn đến mức diện tích dưới nằm trong khoảng từ đến chiếm gần hết hoặc gần như tất cả, của . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Tất cả các mảnh hiện đang ở vị trí: đồ thị của , ngưỡng , chiều cao nhỏ , và các thiết bị đầu cuối bên phải đề nghị một bóc tách của vào các khu vực chúng ta có thể phân tích: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Như đi đến số không từ trên cao, diện tích của hình chữ nhật màu trắng với cơ sở co lại để không, vì vẫn không đổi. ( Đây là lý do tại sao được giới thiệu; đó là ý tưởng chính cho cuộc biểu tình này. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Các khu vực màu xanh có thể được thực hiện càng gần với như bạn có thể thích, bằng cách bắt đầu với một phù hợp lớn và sau đó chọn nhỏ . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Do đó, khu vực này còn sót lại - mà rõ ràng là không lớn hơn hình chữ nhật màu trắng với cơ sở từ để --can được thực hiện tùy tiện nhỏ. (Nói cách khác, chỉ cần bỏ qua các khu vực màu đỏ và vàng.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Chúng tôi đã qua đó phá vỡ thành hai mảnh có diện tích cả hội tụ về zero. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Do đó, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
nguồn