Lấy chức năng khả năng cho IV-probit

Vì vậy, tôi có một mô hình nhị phân trong đó là biến không quan sát được tiềm ẩn và được quan sát. xác định và là công cụ của tôi. Vì vậy, trong ngắn hạn mô hình là. Vì các điều khoản lỗi không độc lập nhưng, Tôi sử dụng mô hình IV-probit. $y_1^*$ $y_1 \in \{0,1\}$ $y_2$ $y_1$ $z_2$

\begin{array}{rcl} y_{1}^{*} & = & δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ y_{2} & = & δ_{21} z_{1} + δ_{22} z_{2} + v_{2} = z δ + v_{2} \\ y_{1} & = & 1 [y^{*} > 0] \end{array}

$\begin{eqnarray} y_1^*&=& \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ y_2 &=& \delta_{21} z_1 + \delta_{22}z_2 + v_2 = \textbf{z}\delta + v_2 \\ y_1 &=& \text{1}[y^*>0] \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} u_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \sim N (0, [\begin{matrix} 1 & η \\ η & τ^{2} \end{matrix}]) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left(\textbf{0} \; , \begin{bmatrix} 1 &\eta \\ \eta &\tau^2 \end{bmatrix} \right). \nonumber \end{eqnarray}$

Tôi gặp khó khăn khi lấy chức năng khả năng. Tôi nhận được rằng tôi có thể viết một trong các thuật ngữ lỗi dưới dạng hàm tuyến tính của hàm kia, vì vậy, và nên được sử dụng để áp đặt CDF bình thường.

\begin{array}{rcl} u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ, where ξ \sim N (0, 1 - η^{2}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} u_{1} = \frac{\eta}{\tau^2}v_{2} + \xi, \qquad \text{where} \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, 1-\eta^2). \end{eqnarray}$

ξ

$\xi$

Tôi đã xem hướng dẫn sử dụng Stata ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf ) cho IV-probit và họ đề nghị sử dụng định nghĩa về mật độ có điều kiện để lấy được hàm khả năng nhưng tôi thực sự không sử dụng nó (và cuối cùng tôi kết quả sai ...). Nỗ lực của tôi cho đến nay là,

\begin{array}{rcl} f (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f (y_{1} ∣ y_{2}, z) f (y_{2} ∣ z) \end{array}

$\begin{eqnarray} f(y_1, y_2 \mid \textbf{z}) = f(y_1 \mid y_2, \textbf{z}) f(y_2 \mid \textbf{z}) \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} L (y_{1}) & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1} = 0 ∣ y_{2}, z)^{1 - y_{1}} Pr (y_{1} = 1 ∣ y_{2}, z)^{y_{1}} \\ = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1}^{*} \leq 0)^{1 - y_{1}} (Pr (y_{1}^{*} > 0) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ [standardizing] & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}})^{1 - y_{1}} \\ \cdot & (Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} < \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}}) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ = & [1 - Φ (w)]^{1 - y_{i}} {[Φ (w) f (y_{2} ∣ x)]}^{y_{1}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y_1) &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1=0 \mid y_2, \textbf{z} )^{1-y_1} \Pr(y_1=1 \mid y_2, \textbf{z} )^{y_1} \nonumber \\ &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1^* \leq 0)^{1-y_1} \Big(\Pr(y_1^* > 0) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ \text{[standardizing]} &=& \prod_{i=1}^n \Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} \leq - \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big)^{1-y_1} \\ &\cdot& \Big(\Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} < \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ &=& [1-\Phi(w)]^{1-y_i} \left[ \Phi(w)f(y_2 \mid \textbf{x}) \right]^{y_1} \end{eqnarray}$ Như tôi đã nói, tôi đã không sử dụng định nghĩa cho hàm mật độ khớp như đã nêu ở trên. Hơn nữa, tôi cũng kết thúc với

f (y_{2} ∣ z)

$f(y_2 \mid \textbf{z})$ được nâng lên thành

y_{1}

$y_1$ có vẻ là sai. Ai đó có thể cho tôi một gợi ý về cách lấy ra hàm khả năng (log-) chính xác hoặc tôi đã sai ở đâu không?

maximum-likelihood econometrics probit

— Cederlöf
nguồn

Hãy nhớ rằng đối với biến thông thường bivariate phân phối có điều kiện của cho là

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N ([\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{X}^{2} & ρ σ_{X} σ_{Y} \\ ρ σ_{X} σ_{Y} & σ_{Y}^{2} \end{matrix}]),

$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{bmatrix}\mu_X\\\mu_Y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y\\\rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2\end{bmatrix}\right),$

Y

$Y$

X

$X$

Y ∣ X \sim N (μ_{Y} + ρ σ_{Y} \frac{X - μ_{X}}{σ_{X}}, σ_{Y} [1 - ρ^{2}]) .

$Y\mid X \sim \mathcal{N}\left(\mu_Y+\rho\sigma_Y\frac{X-\mu_X}{\sigma_X},\sigma_Y\left[1-\rho^2\right]\right).$

Trong trường hợp hiện tại, chúng tôi có có nghĩa là trong đó (và đây là lỗi đầu tiên của bạn)

\begin{aligned} u_{1} ∣ v_{2} & \sim N (0 + \frac{η}{1 \cdot τ} \cdot 1 \frac{v_{2} - 0}{τ}, 1 \cdot [1 - {(\frac{η}{1 \cdot τ})}^{2}]) \\ = N (\frac{η}{τ^{2}} v_{2}, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}), \end{aligned}

$\begin{align} u_1 \mid v_2 &\sim \mathcal{N}\left(0+\frac{\eta}{1\cdot\tau}\cdot1\frac{v_2-0}{\tau}, 1\cdot\left[1-\left(\frac{\eta}{1\cdot\tau}\right)^2\right] \right) \\ &= \mathcal{N}\left(\frac{\eta}{\tau^2}v_2, 1-\frac{\eta^2}{\tau^2} \right), \end{align}$

u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ

$u_1=\frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi$

ξ \sim N (0, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}) .

$\xi\sim\mathcal{N}\left(0,1-\frac{\eta^2}{\tau^2}\right).$

Do đó, chúng tôi có thể viết lại phương trình đầu tiên

\begin{aligned} y_{1}^{*} & = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z δ) + ξ . \end{aligned}

$\begin{align} y_1^* &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2-\textbf{z}\delta)+\xi. \end{align}$

Bây giờ, hãy nhớ rằng hàm mật độ xác suất có điều kiện của cho là $X=x$ $Y=y$

f_{X} (x ∣ y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)} .

$f_{X}(x \mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y}(y)}.$

Trong trường hợp hiện tại, chúng ta có có thể được sắp xếp lại thành biểu thức của bạn

f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) = \frac{f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z)}{f_{2} (y_{2} ∣ z)},

$f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})=\frac{f_{12}(y_1,y_2 \mid \mathbf{z})}{f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z})},$

f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) f_{2} (y_{2} ∣ z) .

$f_{12}(y_1, y_2 \mid \mathbf{z})= f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z}).$

Sau đó, chúng ta có thể viết khả năng là một hàm của mật độ của hai cú sốc độc lập : $v_1,\xi_1$

\begin{aligned} L (y_{1}, y_{2} ∣ z) & = \prod_{i}^{n} f_{1} (y_{1 i} ∣ y_{2 i}, z_{i}) f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i} = 1)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i} = 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i}^{*} > 0)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i}^{*} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} > 0)}^{y_{1 i}} \\ Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(ξ_{i} > - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{y_{1 i}} \\ Pr {(ξ_{i} \leq - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{y_{1 i}} \\ Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - w_{i})}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} {[1 - Pr (\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})]}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i} {[1 - Φ (- w_{i})]}^{y_{1 i}} Φ (- w_{i})^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = \prod_{i}^{n} Φ (w_{i})^{y_{1 i}} {[1 - Φ (w_{i})]}^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = Φ (w)^{y_{1}} {[1 - Φ (w)]}^{1 - y_{1}} φ (\frac{y_{2} - z δ}{τ}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}(y_1,y_2\mid \mathbf{z}) &= \prod_i^n f_{1}(y_{1i} \mid y_{2i}, \mathbf{z}_i)f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}=1\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}=0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}^*>0\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}^*\leq0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_{i}\delta)+\xi_i>0\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+\xi_i\leq0\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\xi_i>-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\xi_i\leq-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-w_i\right)^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \left[1-\Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)\right]^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i \left[1-\Phi(-w_i)\right]^{y_{1i}} \Phi(-w_i)^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \prod_i^n \Phi(w_i)^{y_{1i}} \left[1-\Phi(w_i)\right]^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \Phi(w)^{y_{1}} \left[1-\Phi(w)\right]^{1-y_{1}} \varphi\left(\frac{y_{2}-\mathbf{z}\delta}{\tau}\right) \\ \end{align}$ trong đó và là hàm mật độ tích lũy và hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn.

\begin{aligned} w_{i} = \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} w_i = \frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}. \end{align}$

Φ (z)

$\Phi(z)$

φ (z)

$\varphi(z)$

— Fredrik P
nguồn