Phương sai dài hạn là gì?

Làm thế nào là phương sai dài hạn trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời gian được xác định?

Tôi hiểu nó được sử dụng trong trường hợp có cấu trúc tương quan trong dữ liệu. Vì vậy, quá trình ngẫu nhiên của chúng tôi sẽ không phải là một họ iid các biến ngẫu nhiên mà chỉ được phân phối giống hệt nhau? $X_1, X_2 \dots$

Tôi có thể có một tài liệu tham khảo tiêu chuẩn như là một giới thiệu về khái niệm và những khó khăn liên quan đến ước tính của nó?

— Đơn sắc
nguồn

có liên quan: stats.stackexchange.com/questions/154070/ mẹo

— Taylor

Nó là thước đo sai số chuẩn của trung bình mẫu khi có sự phụ thuộc nối tiếp.

Nếu là hiệp phương sai với và (trong cài đặt iid, đại lượng này sẽ bằng 0!) cho . Sau đó trong đó đẳng thức đầu tiên là xác định , thứ hai khó hơn một chút để thiết lập và thứ ba là hậu quả của sự ổn định, ngụ ý rằng . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Vì vậy, vấn đề thực sự là thiếu độc lập. Để thấy rõ hơn điều này, hãy viết phương sai của mẫu có nghĩa là

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Một vấn đề với việc ước tính phương sai dài hạn là tất nhiên chúng ta không quan sát tất cả các chế độ tự động với dữ liệu hữu hạn. Hạt nhân (theo kinh tế lượng, "Newey-West" hoặc công cụ ước tính HAC) được sử dụng cho mục đích này,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ là một hạt nhân hoặc hàm trọng số, là chế độ tự động mẫu. , trong số những thứ khác phải đối xứng và có . là một tham số băng thông.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Một hạt nhân phổ biến là hạt nhân Bartlett Tài liệu tham khảo sách giáo khoa tốt là Hamilton, Phân tích chuỗi thời gian hoặc Fuller . Một bài báo tạp chí (nhưng kỹ thuật) là Newey và West, Eclometrica 1987 .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
nguồn

Cảm ơn bạn! Tôi đã kiểm tra Phân tích chuỗi thời gian của Hamilton. Trên thực tế, nó nói rằng một cách không tham số để ước tính phổ là lấy trung bình trọng số của hiệp phương sai mẫu nhưng nó không đi sâu vào toán học đằng sau việc xác định tuyên bố này. Bạn có thể đề xuất một cuốn sách tham khảo hoặc giấy giải thích tại sao đây là một công cụ ước tính tốt khi kích thước mẫu tăng?

— Monolite

điểm tốt. Thực hiện một số chỉnh sửa

— Christoph Hanck

Có lẽ đáng nói là bước thứ hai ("khó khăn") đòi hỏi sự hội tụ chiếm ưu thế (xem stats.stackexchange.com/questions/154070/ Lỗi ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, cảm ơn con trỏ, tôi đã bao gồm liên kết.

— Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, rất hoan nghênh, cảm ơn bạn đã cập nhật!

— Tamas Ferenci