Tại sao tối cao của cây cầu Brown có phân phối KolmogorovTHER Smirnov?

Bản phân phối KolmogorovTHER Smirnov được biết đến từ bài kiểm tra KolmogorovTHER Smirnov . Tuy nhiên, nó cũng là sự phân phối của supremum của cây cầu Brown.

Vì điều này không rõ ràng (với tôi), tôi muốn hỏi bạn một lời giải thích trực quan về sự trùng hợp này. Tài liệu tham khảo cũng được chào đón.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

Trong đó $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

bởi CLT bạn có $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

đây là trực giác ...

cầu brownian có phương sai t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge thay t bằng F ( x ) . Đây là cho một $B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$ ...

Bạn cũng cần kiểm tra hiệp phương sai và do đó vẫn dễ dàng hiển thị (CLT) cho ( ) ( G n ( x 1 ) , Rối , G n ( x k ) ) → ( B 1 , ... , B k ) nơi ( B 1 , ... , B k ) là N ( 0 , Σ ) với$x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Điều khó khăn là chỉ ra rằng phân phối của giới hạn của giới hạn là tối cao của phân phối giới hạn ... Hiểu lý do tại sao điều này xảy ra đòi hỏi một số lý thuyết quá trình thực nghiệm, đọc các cuốn sách như van der Waart và Welner (không dễ) . Tên của Định lý là Định lý Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Đối với Kolmogorov-Smirnov, hãy xem xét giả thuyết khống. Nó nói rằng một mẫu được rút ra từ một phân phối cụ thể. Vì vậy, nếu bạn xây dựng hàm phân phối theo kinh nghiệm cho mẫu f ( x ) = $n$, trong giới hạn của dữ liệu vô hạn, nó sẽ hội tụ về sự phân bố tiềm ẩn.$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

Đối với thông tin hữu hạn, nó sẽ được tắt. Nếu một trong các phép đo là , thì tại x = q , hàm phân phối theo kinh nghiệm sẽ tăng thêm một bước. Chúng ta có thể xem nó như một bước đi ngẫu nhiên bị hạn chế để bắt đầu và kết thúc trên chức năng phân phối thực sự. Một khi bạn biết điều đó, bạn sẽ lục lọi tài liệu cho lượng thông tin khổng lồ được biết về các cuộc đi bộ ngẫu nhiên để tìm ra độ lệch dự kiến ​​lớn nhất của một cuộc đi bộ như vậy là gì.$q$$x=q$

$p$$p=2$$p$