Một bước lạ trên một bằng chứng về sự phân bố các dạng bậc hai

9

Định lý sau đây xuất phát từ phiên bản thứ 7 của " Giới thiệu về thống kê toán học " của Hogg, Craig và Mckean và nó liên quan đến điều kiện cần và đủ cho sự độc lập của hai dạng bậc hai của các biến thông thường.

Đây là một trích xuất khá dài nhưng những gì tôi sẽ đánh giá cao một số trợ giúp chỉ là sự chuyển đổi từ 9,9,6 sang 9,9,7 . Tôi đã bao gồm các bước trước chỉ để đưa ra bức tranh tổng thể trong trường hợp kết quả trước đó được sử dụng hoàn toàn. Bạn có thể vui lòng giúp tôi hiểu tại sao 9,9,6 và 9,9,7 là đại diện tương đương? Tôi đã cố gắng tự mình kiếm được 9,9,7 nhưng tất cả các nỗ lực của tôi đã kết thúc trong thất vọng.

Bằng chứng tiếp tục sau đó nhưng tôi không có vấn đề gì khác. Cảm ơn bạn trước.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

self-study mathematical-statistics quadratic-form

— JohnK
nguồn

7

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

— Tây An
nguồn

Vâng, đó là chuyến tàu suy nghĩ của tôi chính xác, cảm ơn bạn. Tôi đã xem danh sách các lỗi cho cuốn sách này nhưng nó không có trong đó nên tôi thấy nó vô cùng khó hiểu.

— JohnK

7

Tôi đã liên lạc với tác giả Giáo sư Joseph W. McKean, người đã nhận ra lỗi lầm và rất vui lòng đưa ra sự sửa chữa. Tôi đang đăng nó ở đây, trong trường hợp bất kỳ ai khác tự học đều cần nó.

Sau (9.9.6) viết:

$\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

$\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

(và bằng chứng tiếp tục cho hướng khác)

— JohnK
nguồn