Tương đương với cdf của MCMC cho pdf là gì?

Cùng với một câu hỏi chéo Validated trên mô phỏng từ một copula cụ thể, đó là một lũy đa biến $C(u_1,\ldots,u_k)$ xác định trên , tôi bắt đầu tự hỏi về những bức tranh lớn hơn, cụ thể là như thế nào , khi được cung cấp một hàm như vậy, người ta có thể tìm ra một thuật toán chung để mô phỏng từ phân phối xác suất tương ứng không?$[0,1]^k$

Rõ ràng, một giải pháp là phân biệt lần để tạo ra pdf và sau đó gọi một thuật toán MCMC chung như Metropolis-Hastings để tạo mẫu từ (hoặc ).k κ ( u 1 , ... , u k ) C $C$ $k$$\kappa(u_1,\ldots,u_k)$$C$$\kappa$

Ngoài ra: Một giải pháp khác là bám sát các công thức của Archimedian, sử dụng phép biến đổi Laplace-Stieljes để mô phỏng, nhưng điều này không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được trong thực tế. Như tôi đã tìm thấy khi cố gắng giải quyết câu hỏi nói trên .

Câu hỏi của tôi là về việc tránh bước khác biệt này một cách chung chung, nếu có thể.

Đây là một nỗ lực mà tôi đã không hoàn toàn thực hiện được, nhưng quá lâu cho phần bình luận. Nó có thể hữu ích để đặt nó ở đây như là một thay thế cơ bản khác cho rất thấp . Nó không yêu cầu phân biệt rõ ràng + MCMC (nhưng nó thực hiện phân biệt số, không có MCMC).$k$

Thuật toán

Đối với nhỏ :$\varepsilon > 0$

1. Vẽ . Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách vẽ η ~ Uniform [ 0 , 1 ] và tính toán C - 1 1 ( η ) (trong đó, nếu bất cứ điều gì, có thể dễ dàng thực hiện bằng số). Đây là một trận hòa từ pdf biên u 1 ~ κ $u_1 \sim C_1 \equiv C(U_1 = u_1,U_2 = 1,\ldots, U_k = 1)$$\eta \sim \text{Uniform}[0,1]$$C_1^{-1}(\eta)$ .$u_1 \sim \kappa(u_1)$
2. Đối với $j = 2\ldots k$
   • CO(2j-1)CD ( ε ) j D ( ε ) j εuju1,...,uj- $$D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1}) \equiv \Pr\left( u_1 - \frac{\varepsilon}{2} \le U_1 \le u_1 + \frac{\varepsilon}{2} \land \dots \land u_{j-1} - \frac{\varepsilon}{2} \le U_{j-1} \le u_{j-1} + \frac{\varepsilon}{2} \land U_{j} \le u_j \land U_{j+1} \le 1 \dots \land U_{k} \le 1\right),$$ $C$$O(2^{j-1})$$C$$D_j^{(\varepsilon)}$$D_j^{(\varepsilon)}$$\varepsilon$$u_j$$u_1, \ldots, u_{j-1}$
   • Vẽ theo điểm 1, một lần nữa sẽ dễ dàng thực hiện với đảo ngược số.$u_j \sim D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1})$

Thảo luận

Thuật toán này sẽ tạo các mẫu iid từ một -appro xấp xỉ của , trong đó chỉ phụ thuộc vào độ chính xác của số. Có các kỹ thuật thực tế để tinh chỉnh xấp xỉ và làm cho nó ổn định về số lượng.$\varepsilon$$C(u_1,\ldots,u_k)$$\varepsilon$

Vấn đề rõ ràng là độ phức tạp tính toán quy mô như , vì vậy, để nói một cách rộng rãi, điều này không chung chung về mặt (nhưng ví dụ bạn liên kết có , vì vậy có lẽ phương pháp này là không hoàn toàn vô dụng - Tôi không quen thuộc với kịch bản điển hình trong đó bạn sẽ có quyền truy cập vào cdf). Mặt khác, đối với các phân phối có chiều rất thấp, nó có thể hoạt động và chi phí được bù bởi thực tế là, không giống như giải pháp chung khác về "phân biệt + MCMC", không cần tính toán các dẫn xuất, các mẫu là iid và ở đó không điều chỉnh (bỏ qua sự lựa chọn của$O(2^{k})$$k$$k = 3$$\varepsilon$, chỉ nên là một cái gì đó hơi chính xác trên máy). Và có lẽ có nhiều cách để làm điều này tốt hơn cách tiếp cận ngây thơ.

Như tôi đã đề cập, đây là trên đỉnh đầu của tôi vì vậy có thể có vấn đề khác.