Đặt

Tôi đang tự học về lý thuyết mô hình tuyến tính ngay bây giờ và một điều tôi thấy ngạc nhiên là mặc dù được định nghĩa cho một vectơ ngẫu nhiên , không có đề cập đến những khoảnh khắc tiếp theo bên cạnh ma trận hiệp phương sai. $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$

Google tìm kiếm đã không bật lên nhiều. Là th (thô) những khoảnh khắc của coi, hoặc là có một ý tưởng khác nhau, tôi không biết gì về? $k$ $\mathbf{Y}$

Tôi đang học từ văn bản Trả lời mặt phẳng cho các câu hỏi phức tạp (TOC bắt đầu ở trang 17 của tệp được liên kết). Bằng cách "xem xét", ý tôi là có một thứ như $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ , và nếu vậy, một khái niệm như vậy sẽ được định nghĩa như thế nào? Cuốn sách tôi chỉ viết về khoảnh khắc thô đầu tiên và tôi thấy hơi lạ là không có đề cập nào về cách định nghĩa $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ cho kinh nghiệm của tôi khi chưa được chỉnh sửa xác suất, tôi cũng không có chuyên môn để xác định nó.

Hơn nữa, nếu $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ không được xác định, có lẽ có một khái niệm liên quan mà tôi không biết về điều đó được sử dụng thay thế?

self-study moments

— Clarinetist
nguồn

Trang này hiển thị mối quan hệ giữa khoảnh khắc thô và trung tâm và mô tả lợi thế của khoảnh khắc trung tâm.

— EdM

@EdM Tôi không hiểu; có vẻ như nó đang nói về những khoảnh khắc không thể tin được, điều mà tôi vô cùng quen thuộc. Tôi tự hỏi liệu có bất kỳ sự xem xét nào về các khoảnh khắc thô thứ ( ) cho trường hợp đa biến (nghĩa là với các vectơ ngẫu nhiên), không phải là trường hợp đơn biến, và nếu vậy, một khái niệm như vậy sẽ được định nghĩa như thế nào.

k

$k$

k \geq 2

$k \geq 2$

— Clarinetist

Liên quan: mathoverflow.net/questions/202732/ cấp

— Andrew M

Ý thức của tôi là các số liệu thống kê bất biến đối với dịch dọc theo trục của một biến được coi là hữu ích nhất, và do đó, các khoảnh khắc thô sẽ không được xem xét thường xuyên như các khoảnh khắc trung tâm, có thuộc tính hữu ích đó. Trang Xác thực chéo này bao gồm thảo luận rộng rãi về các khoảnh khắc có thứ tự cao hơn và các vấn đề liên quan.

— EdM

Bạn có thể khuếch đại những gì bạn có nghĩa là "lý thuyết mô hình tuyến tính" và "xem xét"? Trong một số ứng dụng đơn giản hơn, các giả định mô hình tuyến tính chỉ được thực hiện trong hai thời điểm đầu tiên của , nhưng trong các ứng dụng khác - chẳng hạn như mô hình tuyến tính tổng quát - các giả định được đưa ra có ý nghĩa cụ thể cho toàn bộ phân phối của .

Y

$\mathbf{Y}$

Y

$\mathbf{Y}$

— whuber

Câu trả lời:

Các analog thích hợp của những khoảnh khắc đơn biến trong một khung cảnh đa biến là để xem số mũ là một vector, quá. Ký hiệu số mũ với các cơ sở vectơ và số mũ vectơ là một tốc ký cho sản phẩm, $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \ldots, k_n)$

y^{k} = = y_{1}^{k_{1}} y_{2}^{k_{2}} \dots y_{n}^{k_{n}} .

$\mathbf{y}^\mathbf{k} = y_1^{k_1} y_2 ^{k_2} \cdots y_n^{k_n}.$

Đối với bất kỳ vectơ như vậy , thời điểm (thô) của biến ngẫu nhiên được xác định là $\mathbf{k}$ $\mathbf{k}^\text{th}$ $\mathbf{Y}$

μ_{k} = = E (Y^{k}) .

$\mu_\mathbf{k} = \mathbb{E}\left(\mathbf{Y}^\mathbf{k}\right).$

Để thúc đẩy định nghĩa như vậy, hãy xem xét một khoảnh khắc đơn biến của hàm tuyến tính của : $\mathbf{Y}$

E ({(λ_{1} Y_{1} + \dots + λ_{n} Y_{n})}^{m}) = = \underset{k}{Σ} (\binom{m}{k}) λ^{k} μ_{k}

$\mathbb{E}\left(\left(\lambda_1 Y_1 + \cdots + \lambda_n Y_n\right)^m\right) = \sum_\mathbf{k} \binom{m}{\mathbf{k}}\lambda^\mathbf{k} \mu_\mathbf{k}$

nơi tổng xảy ra khắp nơi trên có thành phần là số nguyên không âm cách tổng hợp để và là các hệ số đa cực. Sự xuất hiện của những khoảnh khắc đa biến ở phía bên tay phải cho thấy lý do tại sao chúng là những khái quát tự nhiên và quan trọng của những khoảnh khắc đơn biến. $\mathbf{k}$ $m$ $\binom{m}{\mathbf{k}} = m!/(k_1!k_2!\cdots k_n!)$

Chúng hiện lên tất cả các thời gian. Chẳng hạn, hiệp phương sai giữa và không ai khác $Y_i$ $Y_j$

Cov (Y_{Tôi}, Y_{j}) = = E (Y_{Tôi} Y_{j}) - E (Y_{Tôi}) E (Y_{j}) = = μ_{k_{Tôi} + k_{j}} - μ_{k_{Tôi}} μ_{k_{j}}

$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}(Y_i Y_j)- \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_j) = \mu_{\mathbf{k}_i + \mathbf{k}_j} - \mu_{\mathbf{k}_i}\mu_{\mathbf{k}_j}$

trong đó và là các vectơ chỉ thị có các số 0 ở tất cả trừ một nơi và một ở vị trí được chỉ định. (Công thức tương tự mang lại phương sai của khi .) $\mathbf{k}_i$ $\mathbf{k}_j$ $Y_i$ $i=j$

Có những khái quát tự nhiên của tất cả các khái niệm khoảnh khắc đơn biến đối với cài đặt đa biến: hàm tạo mô men, tích lũy, hàm tạo tích lũy, khoảnh khắc trung tâm, hàm đặc trưng và các mối quan hệ đại số và phân tích giữa chúng.

Tài liệu tham khảo

Alan Stuart và J. Keith Ord, Lý thuyết thống kê nâng cao của Kendall , Phiên bản thứ năm. Nhà xuất bản Đại học Oxford, 1987: Tập I, Chương 3, Khoảnh khắc và tích lũy.

— whuber
nguồn

Ngoài các điểm của @ whuber

1) Tôi không chắc lý thuyết mô hình tuyến tính đòi hỏi gì nhưng hãy nhớ rằng trong các mô hình tuyến tính, chúng ta thường xử lý các biến ngẫu nhiên bình thường có 0 xiên và 0 kurtosis.

2) Nói chung, câu hỏi có dạng "Chính xác đến mức nào?". Nếu tôi muốn mô tả các mẫu IID tôi có thể nói tôi chỉ muốn trung bình. Ngoài ra, tôi có thể nói tôi muốn trung bình và các lỗi trong phương tiện. Một sự thay thế thậm chí chi tiết hơn sẽ là phương tiện, lỗi về phương tiện và lỗi trong lỗi trong phương tiện. Từ mẫu này, bạn có thể thấy những khoảnh khắc cao hơn tiếp tục gắn kết. Không có giải pháp thực sự cho vấn đề này vì vậy mọi người thường dừng lại ở cấp độ 2 (nghĩa là trung bình và phương sai). Đó là chưa kể những khoảnh khắc cao hơn là vô ích. Trong thực tế, đối với các vấn đề liên quan đến phân phối chất béo, những vấn đề này trở nên có liên quan

— Sid
nguồn