Liệu đặt hàng lồi có ngụ ý thống trị đuôi phải không?

10

Đưa ra hai phân phối liên tục và , tôi không rõ liệu mối quan hệ của sự thống trị lồi giữa chúng: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

ngụ ý rằng

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

giữ hoặc nếu cần một số giả thuyết nữa nếu được giữ? $(1)$

Định nghĩa về sự thống trị lồi.

Nếu hai phân phối liên tục và thỏa mãn: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] sau đó chúng tôi viết:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

và nói rằng bị lệch nhiều hơn so với . Bởi vì và là các bản phân phối xác suất, cũng ngụ ý rằng đạo hàm của không đơn điệu và không âm [1], mà là lồi [2], rằng và giao nhau nhiều nhất hai lần [2] và [2], cho : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Biến đổi lồi của biến ngẫu nhiên. (1964). Amondon: Mathematish Centrum.
[1] Oja, H. (1981). Về vị trí, quy mô, Skewness và Kurtosis của phân phối đơn biến. Tạp chí Thống kê Scandinavia. Tập 8, trang 154--168
[2] RA Groeneveld và G. Meeden. (1984). Đo độ lệch và kurtosis. Nhà thống kê. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— người dùng603
nguồn

1

Tôi cho rằng có một số lỗi trong bất đẳng thức cuối cùng - nếu nó giữ , tính đối xứng sẽ hàm ý sự bình đẳng , mà lần lượt sẽ là đối xứng wrt vs .

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala

1

Lưu ý rằng có sau phương trình (6) của [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala

bạn nói đúng. Lỗi của tôi. Tôi sửa cái này ngay bây giờ.

— user603

2

Nói chung là không đúng. Ví dụ, hãy xem xét và . $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Bạn có thể thấy ngay . Tuy nhiên, . Tuy nhiên, đúng là từ một nhất định , cho tất cả . $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— người dùng123456
nguồn

Bạn có thể vui lòng thêm một số giải thích cho câu trả lời này? Đó là một chút ngắn cho các tiêu chuẩn của chúng tôi!

— kjetil b halvorsen

4

Ok, tôi nghĩ rằng điều này có thể được giải quyết như vậy (bình luận hoan nghênh):

Biểu thị và phân phối của và và nhắc lại rằng $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

ngụ ý (Oja, 1981) rằng sao cho: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Vì sự dịch chuyển không ảnh hưởng đến thứ tự lồi, chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát rằng đã được dịch chuyển sao cho: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

vậy nên

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Vì vậy, có vẻ như có , đặt hàng lồi của đúng đuôi thống trị của hàm ý trên (hoặc để được chính xác một số phiên bản của ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— người dùng603
nguồn