Jeffreys Trước khi phân phối bình thường với trung bình và phương sai không xác định

Tôi đang đọc các bản phân phối trước và tôi đã tính toán Jeffreys trước cho một mẫu các biến ngẫu nhiên phân phối thông thường với phương sai không xác định và không xác định. Theo tính toán của tôi, các trường hợp sau giữ cho Jeffreys trước: Ở đây, là ma trận thông tin của Fisher.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

Tuy nhiên, tôi cũng đã đọc các ấn phẩm và tài liệu nêu rõ

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ xem Phần 2.2 trong Kass và Wassermann (1996) .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ xem trang 25 trong Yang và Berger (1998)

như Jeffreys trước cho trường hợp phân phối bình thường với giá trị trung bình và phương sai không xác định. Jeffreys 'thực tế' trước là gì?

— Nussig
nguồn

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng sự khác biệt được giải thích bằng việc các tác giả xem xét mật độ trên hay mật độ trên . Ủng hộ cách giải thích này, điều chính xác mà Kass và Wassermann viết là trong khi Yang và Berger viết $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. Donda
nguồn

Cảm ơn, tôi đã bỏ qua điều này. Tuy nhiên, điều này vẫn không giải thích được sự khác biệt giữa và .

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig

Trên thực tế, có trước giống như có , do thuộc tính lặp lại của Jeffreys trước: với ma trận Jacobian của , tức là .

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig

@Nussig, tôi đã kiểm tra tính toán và tôi nghĩ bạn đã đến đúng . Bạn cũng đúng rằng số lần lặp lại chỉ chiếm một yếu tố . Xem xét điều này, tính toán của bạn phù hợp với Kass và Wassermann, và tôi chỉ có thể đoán rằng Yang và Berger đã phạm sai lầm. Điều này cũng có ý nghĩa vì trước đây là một bài báo được xem xét thường xuyên và sau đó là một bản nháp của một loại bộ sưu tập công thức.

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— A. Donda

Kass và Wassermann cũng lưu ý rằng Jeffreys đã đưa ra một quy tắc được sửa đổi, theo đó các tham số vị trí và tỷ lệ nên được xử lý riêng. Điều này dẫn đến và do đó , nhưng vẫn không thành .

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— A. Donda

Jim Berger vẫn là một nhà khoa học tích cực, vì vậy để chắc chắn bạn có thể kiểm tra trực tiếp với anh ta: stat.duke.edu/~berger

— A. Donda

Các câu trả lời hiện có đã trả lời tốt câu hỏi ban đầu. Là một nhà vật lý, tôi chỉ muốn thêm vào cuộc thảo luận này một lập luận về chiều. Nếu bạn xem xét và để mô tả phân phối biến ngẫu nhiên trong không gian 1D thực và được đo bằng mét, chúng có kích thước và . Để có chính xác về mặt vật lý trước đó, bạn cần có kích thước phù hợp, tức là quyền hạn duy nhất của về mặt vật lý có thể có trong một ưu tiên không tham số là: và . $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
nguồn

Tại sao có trong biểu thức thứ hai?

σ^{3}

$\sigma^{3}$

— tiểu não

$\frac{1}{\sigma^3}$ là Jeffreys trước. Tuy nhiên, trong thực tế thường được sử dụng vì nó dẫn đến một hậu thế tương đối đơn giản, "trực giác" của điều này trước đó là nó tương ứng với một căn hộ trước trên . $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Xe đạp Jorne
nguồn

Cảm ơn, @Noshgul. Tôi nhận được điểm về căn hộ trước trên . Tuy nhiên, bạn có thể giải thích về 'hậu thế tương đối đơn giản' không? Nếu tôi không nhầm, kết quả trước đó của Jeffrey trong một nghịch đảo bình thường- sau, tức là Trước nên kết quả trong một bình thường inverse- sau cũng vậy, chỉ với các thông số khác nhau.

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Nussig

Ồ, vâng, nó dẫn đến một nghịch đảo bình thường- . Tôi chỉ thấy tự nhiên hơn khi biên của là nghịch đảo với n-1 thay vì n bậc tự do. Nhưng dù sao, tôi chắc chắn không muốn ám chỉ rằng các linh mục khác sẽ dẫn đến sự phân phối gây phiền nhiễu. Thành thật mà nói, tôi không biết hậu thế của Jeffry trước đây và tôi cũng không thực sự nghĩ nhiều về điều đó khi tôi viết bài đăng.

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jorne biccler