Thống kê đơn hàng để phân phối beta

Hãy được iid vẽ từ $x_1,\dots,x_n$ . Làm thế nào là thống kê đơn hàng tối thiểu và tối đa được phân phối, tương ứng? $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

Tôi sẽ đánh giá rất cao một tài liệu tham khảo nếu có thể. Nói chung tôi không quen với việc lấy số liệu thống kê đơn hàng.

Chỉnh sửa: Cho rằng phân phối beta có thể được hiểu là phân phối cho phân phối đồng đều, tôi đoán là mức tối thiểu hoặc tối đa của phân phối beta được phân phối theo phân phối beta khác. $k$

Chỉnh sửa_2: Tôi đã thêm một cài đặt chính xác hơn một chút mà tôi tình cờ quan tâm. Cuối cùng, tôi đang tìm kiếm các giá trị tối thiểu và tối đa, vì vậy bất kỳ hình thức nào dẫn đến những điều này tôi sẽ hài lòng. Cuối cùng tôi cũng quan tâm đến trường hợp tiệm cận, nhưng đó là mối quan tâm tiếp theo của tôi, có thể nói như vậy.

order-statistics beta-distribution

— Bệnh phong
nguồn

Bạn có thể muốn đề cập đến hình thức của một câu trả lời bạn cần. Nói chung, PDF sẽ là một đa thức có sức mạnh của hàm Beta không hoàn chỉnh, có khả năng không đơn giản hóa hoặc thậm chí có thể tính toán được trừ khi bằng số.

— whuber

@whuber, tôi đã cố gắng trả lời câu hỏi của bạn trong lần chỉnh sửa thứ hai. Trước hết tôi đã thay đổi cài đặt để cụ thể hơn một chút theo sở thích của tôi. Thứ hai, tôi chủ yếu quan tâm đến việc điều chỉnh cả hai. Bất cứ điều gì dẫn đến điều đó sẽ làm cho tôi hạnh phúc. Lập luận của tôi có đúng về lý do tại sao nó phải là bản phân phối Beta (ít nhất là trong một số trường hợp) không?

— Lepidopterist

Tôi tin rằng đối số của bạn áp dụng khi (a)

và bạn tìm kiếm mức tối thiểu và (b)

và bạn tìm kiếm mức tối đa. Mặt khác, nó không áp dụng vì các giá trị cực trị của một tập hợp thống kê bậc trung không giống với thống kê đơn hàng.

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

Tôi quan tâm đến trường hợp tổng quát hơn

không nhất thiết là

. Trong thực tế, cuối cùng tôi muốn tính toán những gì xảy ra khi

và

đi đến vô cùng.

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— Lepidopterist

bạn cũng nên xác định một cái gì đó về mối quan hệ giữa

và

khi cả hai đi đến vô tận - cái này có đi nhanh hơn cái kia không?

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

Đặt biến ngẫu nhiên cha $X \sim Beta(a,b)$ với pdf $f(x)$ :

_{(nguồn: tri.org.au )}

Sau đó, đưa ra một mẫu kích thước $n$ , pdf của $1^{st}$ để thống kê (tối thiểu mẫu) là:

_{(nguồn: tri.org.au )}

... và pdf của thống kê đơn hàng $n^{th}$ (tối đa mẫu) là:

_{(nguồn: tri.org.au )}

Ở đâu:

Tôi đang sử dụng các OrderStatchức năng từ mathStatica gói cho Mathematica để tự động hóa các-nitty gritties
Beta[x,a,b] $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
và miền hỗ trợ là (0,1).

— chó sói
nguồn