Chúng ta có thể nói gì về dân số có nghĩa là từ cỡ mẫu 1?

Tôi đang tự hỏi những gì chúng ta có thể nói, nếu bất cứ điều gì, về giá trị trung bình dân số, khi tất cả tôi có là một đo lường, (kích thước mẫu số 1). Rõ ràng, chúng tôi muốn có nhiều số đo hơn, nhưng chúng tôi không thể có được số đo đó.y $\mu$$y_1$

Đối với tôi, dường như vì giá trị trung bình của mẫu, , tương đương với , nên . Tuy nhiên, với kích thước mẫu là 1, phương sai mẫu không được xác định và do đó, sự tự tin của chúng tôi trong việc sử dụng làm công cụ ước tính của cũng không được xác định, đúng không? Có cách nào để hạn chế ước tính của chúng tôi về không? y1E[ ˉ y ]=E[y1]=L ˉ y L$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Đây là một bài viết hoàn toàn mới về câu hỏi này cho trường hợp Poisson, thực hiện một phương pháp sư phạm tốt đẹp:

Andersson. Per Gotsta (2015). Một phương pháp tiếp cận lớp học để xây dựng một khoảng tin cậy gần đúng của một ý nghĩa Poisson bằng cách sử dụng một quan sát. Thống kê người Mỹ , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Nếu dân số được biết là bình thường, khoảng tin cậy 95% dựa trên một quan sát được đưa ra bởix ± 9,68 | x $x$

Điều này được thảo luận trong bài báo "Khoảng tin cậy hiệu quả cho ý nghĩa với các mẫu có kích thước một và hai" của Wall, Boen và Tweedie, Nhà thống kê người Mỹ , tháng 5 năm 2001, Tập. 55, số 2 . ( pdf )

Chắc chắn là có. Sử dụng một mô hình Bayes . Rất có thể bạn có ít nhất một số ý tưởng về những gì có thể có thể được - ví dụ, rằng nó thể chất không thể tiêu cực, hoặc là nó rõ ràng là không thể lớn hơn 100 (có lẽ bạn đang đo chiều cao của trường trung học thành viên đội bóng địa phương của bạn bằng đơn vị feet). Đặt trước đó, cập nhật nó với sự quan sát đơn độc của bạn, và bạn có một hậu thế tuyệt vời.$\mu$

Một bài tập mô phỏng nhỏ để minh họa xem câu trả lời của @soakley có hoạt động không:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Trong số một triệu thử nghiệm ngẫu nhiên, khoảng tin cậy bao gồm trung bình một triệu lần, nghĩa là luôn luôn như vậy . Điều đó không nên xảy ra trong trường hợp khoảng tin cậy là khoảng tin cậy 95% .

Vì vậy, công thức dường như không hoạt động ... Hoặc tôi đã mắc lỗi mã hóa?

Chỉnh sửa: cùng một kết quả theo kinh nghiệm khi sử dụng ; tuy nhiên, nó là cho - do đó khá gần với khoảng tin cậy 95%.0,950097 ≈ 0,95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Xem Edelman, D (1990) 'Khoảng tin cậy cho trung tâm của phân phối không chính thống không xác định dựa trên cỡ mẫu một' Thống kê người Mỹ, Tập 44, số 4. Bài viết về các trường hợp Bình thường và Không theo dõi.