Tại sao tích của các hệ số hồi quy bivariate của dòng

11

Có mô hình hồi quy trong đó với và , có hệ số tương quan là . $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

Nếu và sau đó được chuyển đổi xung quanh và phương trình trở thành trong đó và , nó cũng có giá trị là . $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

Tôi hy vọng ai đó có thể giải thích tại sao cũng là . $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— Mike
nguồn

17

và $b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ , vì vậy . $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

Nhiều sách giáo khoa thống kê sẽ chạm vào điều này; Tôi thích Freedman và cộng sự, Thống kê . Xem thêm ở đây và bài viết wikipedia này .

— Karl
nguồn

10

Hãy xem Mười ba cách để xem xét hệ số tương quan - và đặc biệt là các cách 3, 4, 5 sẽ được bạn quan tâm nhất.

Rodgers, JL, & Nicewander, WA (1988). Mười ba cách để xem xét hệ số tương quan . Nhà thống kê người Mỹ, 42, 1 , trang 59-66.

— Tò mò
nguồn

2

Điều này có lẽ nên có một nhận xét. Lưu ý rằng liên kết đã chết. Tôi đã cập nhật các liên kết và cung cấp một trích dẫn đầy đủ. Bạn có thể giải thích, hoặc cung cấp bất kỳ thông tin bổ sung nào để điều này vẫn có giá trị ngay cả khi liên kết bị chết lần nữa không?

— gung - Tái lập Monica

2

Bài viết của Rodgers & Nicewander được tóm tắt trên trang web của chúng tôi tại stats.stackexchange.com/q/70969/22228 .

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

Nhớ lại rằng nhiều văn bản giới thiệu xác định

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

Sau đó, bằng cách đặt là chúng ta có và tương tự . $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

Các công thức cho hệ số tương quan , độ dốc của hồi quy -on- ( của bạn ) và độ dốc của hồi quy -on- ( của bạn ) thường được đưa ra là: $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

Sau đó nhân $(2)$ và rõ ràng cho bình phương của : $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

Ngoài ra, tử số và mẫu số của các phân số trong , $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

$(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

$(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

$(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

$r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$\sgn$ $+1$ $-1$

— Cá bạc
nguồn

1

Bạn có thể thấy câu trả lời này của tôi rất đáng quan tâm mặc dù nó không giải quyết rõ ràng câu hỏi được hỏi ở đây.

— Dilip Sarwate