Những gì không thiên vị, có nghĩa là gì?

• Điều đó có nghĩa gì khi nói rằng "phương sai là một công cụ ước tính sai lệch".
• Ý nghĩa của việc chuyển đổi một ước tính thiên vị thành một ước tính không thiên vị thông qua một công thức đơn giản. Chuyển đổi này làm gì chính xác?
• Ngoài ra, việc sử dụng thực tế của chuyển đổi này là gì? Bạn có chuyển đổi các điểm số này khi sử dụng một số loại thống kê nhất định?

Bạn có thể tìm thấy mọi thứ ở đây . Tuy nhiên, đây là một câu trả lời ngắn gọn.

Đặt và là giá trị trung bình và phương sai quan tâm; bạn muốn ước tính dựa trên mẫu có kích thước .σ 2 σ 2$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

Bây giờ, giả sử bạn sử dụng công cụ ước tính sau:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

trong đó là công cụ ước tính của .$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$

Không quá khó (xem chú thích) để thấy rằng .$E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Vì , công cụ ước tính được cho là sai lệch.S $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$

Nhưng, hãy quan sát rằng . Do đó là một công cụ ước tính không thiên vị của . ˜ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$σ$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

Chú thích

Bắt đầu bằng cách viết và sau đó mở rộng sản phẩm ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Chỉnh sửa tài khoản cho ý kiến ​​của bạn

Giá trị mong đợi của không cho (và do đó bị sai lệch) nhưng hóa ra bạn có thể biến thành để kỳ vọng sẽ cho .σ 2 S 2 S 2 ~ S 2 σ $S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

Trong thực tế, người ta thường thích làm việc với thay vì . Nhưng, nếu đủ lớn, đây không phải là vấn đề lớn vì .S2n$\tilde{S}^2$$S^2$$n$$\frac{n}{n-1} \approx 1$

Lưu ý Lưu ý rằng tính không thiên vị là một thuộc tính của công cụ ước tính, không phải là một kỳ vọng như bạn đã viết.

Câu trả lời này làm rõ câu trả lời của ocram. Lý do quan trọng (và hiểu lầm phổ biến) cho là S 2 sử dụng dự toán ˉ X mà là chính nó ước tính từ dữ liệu.$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$

Nếu bạn làm việc thông qua các nguồn gốc, bạn sẽ thấy rằng phương sai của ước tính này là chính xác những gì mang lại cho thêm - σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$thuật ngữ$-\frac{\sigma^2}{n}$

Lời giải thích mà @Ocram đưa ra thật tuyệt vời. Để giải thích những gì anh ấy nói bằng lời: nếu chúng tôi tính bằng cách chia chỉ cho n , (đó là trực quan) ước tính của chúng tôi về s 2 sẽ là một đánh giá thấp. Để bù lại, ta chia cho n - 1 .$s^2$$n$$s^2$$n-1$

Đây là một bài tập: Tạo một xác suất rời rạc với 2 kết quả, giả sử và P ( 6 ) = .75 . Tìm μ và σ để phân phối này. Tính μ và σ cho giá trị trung bình mẫu khi n = 3 . Tính tất cả các mẫu có thể có kích thước n = 3 . Tính s 2 trên các mẫu đó và áp dụng tần số thích hợp. $P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

Đôi khi, bạn phải làm bẩn tay mình.

Nói chung, sử dụng "n" trong mẫu số sẽ cho các giá trị nhỏ hơn phương sai dân số, đó là những gì chúng tôi muốn ước tính. Điều này đặc biệt xảy ra nếu các mẫu nhỏ được lấy. Trong ngôn ngữ thống kê, chúng tôi nói rằng phương sai mẫu cung cấp một ước tính sai lệch về phạm vi của phạm vi dân số và cần phải được thực hiện "không thiên vị".

Video này sẽ trả lời đầy đủ từng phần câu hỏi của bạn.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE