Khi nào chuỗi Taylor xấp xỉ với kỳ vọng của (toàn bộ) chức năng hội tụ?

Tham dự một sự mong đợi của mẫu $E(f(X))$ đối với một số đơn biến biến ngẫu nhiên $X$ và một toàn bộ chức năng $f(\cdot)$ (ví dụ, khoảng hội tụ là toàn bộ dòng sản)

$X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Câu hỏi của tôi là: trong điều kiện nào trên biến ngẫu nhiên (và bất cứ điều gì bổ sung trên cũng vậy, thì phép tính gần đúng của kỳ vọng sẽ hội tụ khi tôi thêm các thuật ngữ (ví dụ ). $f(\cdot)$ $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$

Vì nó dường như không hội tụ cho trường hợp của tôi (một biến ngẫu nhiên poisson và $f(x) = x^{\alpha}$ ), có bất kỳ thủ thuật nào khác để tìm kỳ vọng gần đúng với các số nguyên khi các điều kiện này không thành công?

expected-value approximation

— jlperla
nguồn

xem tại đây: stats.stackexchange.com/questions/70490/ Khăn

— Jonathan

@Jonathan Cảm ơn bạn. Xem các chỉnh sửa của tôi bây giờ nó đã trở nên rõ ràng hơn. Rất hữu ích, mặc dù tôi không thể phá vỡ nó. Từ điều này, có vẻ như một điều kiện đủ để điều này hoạt động là biến ngẫu nhiên của tôi được tập trung mạnh mẽ? Mặc dù tôi gặp khó khăn khi bẻ khóa chính xác cách sử dụng Bất đẳng thức của Hoeffding, v.v. để so sánh với các ghi chú này.

— jlperla

Bạn có ý nghĩa gì "một biến ngẫu nhiên poisson và "? Đó là một hoặc hai trường hợp, và pdf là gì?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Đây là một vài năm trước, nhưng nếu tôi nhớ, biến là cho một số với PDF từ en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Đó là là chức năng mà tôi đã mong đợi. tức là

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Không chắc chắn những gì bạn đang yêu cầu. Làm thế nào về những khoảnh khắc cao hơn của phân phối Poisson về nguồn gốc là đa thức Touchard trong : trong đó {dấu ngoặc nhọn biểu thị số Stirling của loại thứ hai?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Câu trả lời:

Theo giả định của bạn rằng là phân tích thực, Hội tụ gần như chắc chắn (thực tế là chắc chắn) với . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Một điều kiện tiêu chuẩn theo đó hội tụ hàm ý sự hội tụ của kỳ vọng, tức là là đó như đối với một số sao cho . (Định lý hội tụ thống trị.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Điều kiện này sẽ giữ nếu chuỗi lũy thừa hội tụ hoàn toàn như, tức là và

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Ví dụ của bạn về biến ngẫu nhiên Poisson và , , sẽ cho thấy rằng tính tích hợp ở trên của tiêu chí giới hạn tuyệt đối nói chung là yếu nhất có thể. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
nguồn

-1

Phép tính gần đúng sẽ hội tụ nếu hàm f (x) chấp nhận mở rộng chuỗi lũy thừa tức là tất cả các đạo hàm tồn tại. Nó cũng sẽ hoàn toàn đạt được nếu các dẫn xuất của một ngưỡng cụ thể trở lên bằng 0. Bạn có thể tham khảo Populis [3-4] và Stark và Woods [4].

— E. Mehrban
nguồn

"Nó cũng sẽ hoàn toàn đạt được nếu các dẫn xuất của một ngưỡng cụ thể và cao hơn bằng không." Nếu các đạo hàm tồn tại và bằng 0, đó không phải là cách nói đa thức khác sao?

— Tích lũy

Đây không phải là sự thật. Khi "tất cả các dẫn xuất tồn tại" tại điểm mở rộng chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa không cần phải hội tụ ở bất cứ đâu. (Ví dụ tiêu chuẩn là loạt Maclaurin của ) Một điều nữa là ngay cả khi chuỗi đó hội tụ tại một số điểm, nó không cần phải hội tụ ở mọi nơi. Một ví dụ đơn giản là loạt MaclaurinKhi điều đó xảy ra, sự hội tụ phụ thuộc vào các chi tiết của biến ngẫu nhiên. Chẳng hạn, giả sử có bất kỳ phân phối Student t nào và xem xétCuối cùng, thậm chí không tồn tại!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber