Các biện minh thống kê của nội suy là gì?

Giả sử rằng chúng ta có hai điểm (hình sau: vòng tròn đen) và chúng ta muốn tìm giá trị cho điểm thứ ba giữa chúng (chéo). Thật vậy, chúng tôi sẽ ước tính nó dựa trên kết quả thử nghiệm của chúng tôi, các điểm đen. Trường hợp đơn giản nhất là vẽ một đường và sau đó tìm giá trị (nghĩa là nội suy tuyến tính). Nếu chúng ta có các điểm hỗ trợ, ví dụ, như các điểm màu nâu ở cả hai bên, chúng ta muốn nhận được lợi ích từ chúng và phù hợp với một đường cong phi tuyến tính (đường cong màu xanh lá cây).

Câu hỏi đặt ra là lý do thống kê để đánh dấu chữ thập đỏ là giải pháp là gì? Tại sao các thánh giá khác (ví dụ: những cái màu vàng) không trả lời chúng có thể ở đâu? Những loại suy luận hoặc (?) Đẩy chúng ta chấp nhận màu đỏ?

Tôi sẽ phát triển câu hỏi ban đầu của mình dựa trên các câu trả lời cho câu hỏi rất đơn giản này.

Bất kỳ hình thức phù hợp chức năng nào, ngay cả những hình thức không định lượng (thường đưa ra các giả định về độ trơn của đường cong liên quan), đều liên quan đến các giả định và do đó là một bước nhảy vọt của đức tin.

Giải pháp cổ xưa của phép nội suy tuyến tính là một giải pháp 'chỉ hoạt động' khi dữ liệu bạn có đủ mịn 'đủ' (nếu bạn nhìn vào một vòng tròn đủ gần, nó trông cũng phẳng - chỉ cần hỏi Columbus), và thậm chí còn khả thi trước thời đại máy tính (đó không phải là trường hợp của nhiều giải pháp splines hiện đại). Thật hợp lý khi cho rằng niềm tin rằng hàm sẽ 'tiếp tục trong cùng một vấn đề (tức là tuyến tính)' giữa hai điểm, nhưng không có lý do tiên quyết nào cho việc này (loại bỏ kiến ​​thức về các khái niệm trong tay).

Nó trở nên rõ ràng nhanh chóng khi bạn có ba (hoặc nhiều) điểm không màu (như khi bạn thêm các điểm màu nâu ở trên), phép nội suy tuyến tính giữa mỗi điểm sẽ sớm liên quan đến các góc nhọn trong mỗi điểm, điều này thường không mong muốn. Đó là nơi các tùy chọn khác nhảy vào.

Tuy nhiên, không có kiến ​​thức về miền, không có cách nào để khẳng định chắc chắn rằng một giải pháp tốt hơn giải pháp kia (đối với điều này, bạn sẽ phải biết giá trị của các điểm khác là gì, đánh bại mục đích phù hợp với chức năng trong địa điểm đầu tiên).

Về mặt sáng sủa, và có thể phù hợp hơn với câu hỏi của bạn, trong 'điều kiện thông thường' (đọc: giả định : nếu chúng ta biết rằng hàm này trơn tru), cả nội suy tuyến tính và các giải pháp phổ biến khác đều có thể được chứng minh là 'hợp lý' xấp xỉ. Tuy nhiên: nó yêu cầu các giả định và đối với những điều này, chúng tôi thường không có số liệu thống kê.

Bạn có thể tìm ra phương trình tuyến tính cho dòng phù hợp nhất (ví dụ: y = 0,4554x + 0,7525) tuy nhiên điều này sẽ chỉ hoạt động nếu có trục có nhãn. Tuy nhiên, điều này sẽ không cung cấp cho bạn câu trả lời chính xác chỉ có câu trả lời phù hợp nhất liên quan đến các điểm khác.