Ước tính khả năng tối đa cho phân phối nhị thức âm

Câu hỏi như sau:

Một mẫu ngẫu nhiên gồm n giá trị được thu thập từ phân phối nhị thức âm với tham số k = 3.

1. Tìm ước lượng khả năng tối đa của tham số π.
2. Tìm một công thức tiệm cận cho lỗi tiêu chuẩn của công cụ ước tính này.
3. Giải thích tại sao phân phối nhị thức âm sẽ xấp xỉ bình thường nếu tham số k đủ lớn. Các thông số của xấp xỉ bình thường này là gì?

Công việc của tôi là như sau:
1. Tôi cảm thấy đây là điều mong muốn nhưng tôi không chắc liệu tôi có chính xác ở đây không hoặc liệu tôi có thể đưa thông tin này được cung cấp thêm không?

2. Tôi nghĩ rằng sau đây là những gì được yêu cầu. Đối với phần cuối cùng, tôi cảm thấy mình cần thay thế $\hat{\pi}$ bằng $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Tôi không thực sự chắc chắn làm thế nào để chứng minh điều này và vẫn đang nghiên cứu nó. Bất kỳ gợi ý hoặc liên kết hữu ích sẽ được đánh giá rất cao. Tôi cảm thấy như nó có liên quan đến thực tế là phân phối nhị thức âm có thể được xem như là một tập hợp các phân phối hình học hoặc nghịch đảo của phân phối nhị thức nhưng không biết cách tiếp cận nó.

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá rất cao

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Đặt cái này thành 0,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2.

Đối với phần thứ hai, bạn cần sử dụng định lý , là thông tin câu cá ở đây. Do đó, độ lệch chuẩn của sẽ là . Hoặc bạn gọi đó là lỗi tiêu chuẩn kể từ khi bạn sử dụng CLT tại đây.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Vì vậy, chúng ta cần tính toán thông tin Fisher cho phân phối nhị thức âm.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Lưu ý: cho nhị phân nhị phân âm$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Do đó, lỗi tiêu chuẩn cho là$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Đơn giản hóa chúng ta có được chúng ta sẽ có$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3.

Phân phối hình học là trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm khi k = 1. Lưu ý là phân phối hình học$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Do đó, biến nhị thức âm có thể được viết dưới dạng tổng của k biến ngẫu nhiên, phân phối giống hệt (hình học).

Vì vậy, phân phối nhị thức âm CLT sẽ xấp xỉ bình thường nếu tham số k đủ lớn